1990-上海卷-19 单-异面直线的命题判定

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系，以及异面直线的定义与性质。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 设 $a,b$ 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 ()

A. 经过直线 $a$ 有且只有一个平面平行于直线 $b$ B. 经过直线 $a$ 有且只有一个平面垂直于直线 $b$ C. 存在分别经过直线 $a$ 和 $b$ 的两个互相平行的平面 D. 存在分别经过直线 $a$ 和 $b$ 的两个互相垂直的平面

🔍【思路分析】

破题导航

1. 题目要求选出假命题，条件为“$a,b$ 是异面直线”，即既不平行也不相交。
2. 逐项判断：
   • (A)：在直线 $a$ 上任取一点 $P$，过 $P$ 作 $b^{\prime }\parallel b$，$a$ 与 $b^{\prime }$ 相交，确定唯一平面 $\alpha$，$b\parallel \alpha$。真命题。
   • (B)：若 $a\subset \alpha$ 且 $\alpha \perp b$，则必有 $b\perp a$。但异面直线不一定垂直，故为假命题。
   • (C)：由 (A)，过 $a$ 有平面 $\alpha \parallel b$，过 $b$ 有平面 $\beta \parallel a$，两平面平行。真命题。
   • (D)：找 $a,b$ 的公垂线，可构造互相垂直的平面。真命题。
3. 也可借助长方体模型直观判断。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

(A) 真命题： 在直线 $a$ 上任取一点 $P$，过 $P$ 作且只作一条直线 $b^{\prime }\parallel b$。因 $a,b$ 异面，$P$ 不在 $b$ 上，$a$ 与 $b^{\prime }$ 相交，唯一确定平面 $\alpha$。 由 $b^{\prime }\subset \alpha$ 且 $b\parallel b^{\prime }$，得 $b\parallel \alpha$。平面唯一，故 (A) 为真。

(B) 假命题： 若存在平面 $\alpha$ 使 $a\subset \alpha$ 且 $\alpha \perp b$，由线面垂直的性质，$b$ 垂直于 $\alpha$ 内所有直线，故： $a\perp b$ 即只有异面直线 $a,b$ 互相垂直时，经过 $a$ 才有平面垂直于 $b$。题设只说 $a,b$ 异面，夹角不一定是 $90^{\circ }$。若 $a$ 与 $b$ 不垂直，则这样的平面不存在。故 (B) 为假。

(C) 真命题： 由 (A)，过 $a$ 可作平面 $\alpha \parallel b$；同理过 $b$ 可作平面 $\beta \parallel a$。由面面平行的判定，$\alpha \parallel \beta$。故 (C) 为真。

(D) 真命题： 任意两条异面直线 $a,b$ 都有且仅有一条公垂线 $l$（$l\perp a$ 且 $l\perp b$）。

• $a$ 与 $l$ 相交，确定平面 $\alpha$；
• $b$ 与 $l$ 相交，确定平面 $\beta$。 由 $l\perp b$ 且 $l\subset \alpha$，得 $\alpha \perp \beta$。故 (D) 为真。

综上，假命题是 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行与垂直的判定、异面直线的性质（公垂线）。
2. 核心方法：模型法（借助长方体模型直观判断）。
3. 避坑指南：
   • 混淆“存在”与“有且仅有”：(B) 要求对任意异面直线都成立（全称），(D) 只要存在即可（存在量词）。理解这一点是这类题不失分的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为立体几何中直线与平面平行、垂直判定定理的综合题。
2. 结论推广：
   • 任意两条异面直线都可以分别放在两个平行平面内，这两个平行平面间的距离就是两异面直线的公垂线段长（最短距离）；
   • 求异面直线的夹角，可平移其中一条直线到与另一条相交，转化为相交直线的夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1992-上海-13 单-平面与平面平行
• 1992-上海-17 单-空间几何体命题判定
• 1991-上海-18 单-面面平行与线面平行的条件