1990-上海卷-14 单-等差等比数列判定

本题导读

本题考查指数与对数的互化，以及等差数列与等差中项的判定。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 设 $2^a=3,2^b=6,2^c=12$，则数列 $a,b,c$ ()

A. 是等差数列但不是等比数列　　　　B. 是等比数列但不是等合数列

C. 既是等差数列又是等比数列　　　　D. 既不是等差数列又不是等比数列

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察底数与幂次特征：已知三个等式的底数都是 2，而等号右侧的值分别为 3, 6, 12，这三个数成等比数列（公比为 2）。
2. 验证等差性质（加法结构）：
   • 考查 $2^a\times 2^c$ 的代数结果，利用指数幂的乘法法则得到 $2^{a+c}$。
   • 比较其与 $(2^b{)}^2=2^{2b}$ 的大小关系，若两项相等，则说明 $a+c=2b$，符合等差中项特征。
3. 验证等比性质（乘法结构）：
   • 将 $a,b,c$ 用对数形式显式表达出来，代入等比中项表达式 $b^2=ac$ 中，通过数值大小进行不等判定。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

1. 验证数列 $a,b,c$ 是否为等差数列： 根据已知条件，有： $2^a=3,2^b=6,2^c=12$

我们将 $2^a$ 与 $2^c$ 相乘： $2^a\times 2^c=3\times 12=36$ 根据指数幂的运算性质，左边可化为： $2^{a+c}=36$

再对已知式 $2^b=6$ 的两边同时平方： $(2^b{)}^2=6^2⟹2^{2b}=36$

对比上述两个结果，由于右端项都是 36，所以： $2^{a+c}=2^{2b}⟹a+c=2b$

根据等差中项的定义， $a+c=2b$ 说明三个数 $a,b,c$ 构成了等差数列。

2. 验证数列 $a,b,c$ 是否为等比数列： 将已知指数方程化为对数形式： $a={\log }_{2}3,b={\log }_{2}6,c={\log }_{2}12$

根据对数运算性质，有： $b={\log }_2(2\times 3)={\log }_{2}2+{\log }_{2}3=1+a$ $c={\log }_2(4\times 3)={\log }_{2}4+{\log }_{2}3=2+a$ 由于 $a={\log }_{2}3\ne 0$，容易看出这一组数 $a,a+1,a+2$ 是公差为 1 的等差数列。 若其同时为等比数列，则需满足 $b^2=ac$。 代入数值验证： $b^2=({\log }_{2}6{)}^2\approx (2.585{)}^2\approx 6.68$ $ac={\log }_{2}3\times {\log }_{2}12={\log }_{2}3\times (2+{\log }_{2}3)\approx 1.585\times 3.585\approx 5.68$ 因为 $b^2\ne ac$，所以数列 $a,b,c$ 不是等比数列。

综上所述，该数列是等差数列但不是等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数的对偶运算规律，等差中项（$2b=a+c$）与等比中项（$b^2=ac$）的代数结构判定。
2. 核心方法：指数性质映射法。不需要通过对数把 $a,b,c$ 的近似数值计算出来，直接利用 $2^a\cdot 2^c=2^{a+c}$ 与 $(2^b{)}^2=2^{2b}$ 建立幂次和的相等关系，这是最简单纯粹的证明策略。
3. 避坑指南：
   • 直观错觉导致错选 (B)：部分考生看到右侧的 3, 6, 12 成等比数列，不加推导便直观地认为指数 $a,b,c$ 肯定也成等比数列，从而错选。应牢记：若底数相同，幂的值成等比数列，则对应的指数成等差数列。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于指数、对数与数列综合的经典概念题，源自教材中“对数的运算性质”章节，旨在通过代数手段向学生阐明：对数算子具有“将乘法（等比）降维转化为加法（等差）”这一底层本质数学功能。
2. 结论推广：在正实数域内，若存在一个各项均不为0的几何等比数列 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ （公比为 $q$ ），将其代入以固定的正数 $m$ （$m\ne 1$）为底的指数式 $m^{a_k}=x_k$ 中。 则对应的指数序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 必然退化构成一个标准的等差数列，其对应的公差为 $d={\log }_{m}q$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-上海-12 单-等差数列的性质
• 1992-三南-09 单-等差数列的通项与公差
• 1991-三南-02 单-等差数列的基本量