1989-全国卷理-12 单-排列计数

本题导读

本题考查排列组合，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有 ()

A. 60 个　　　　　　　B. 48 个　　　　　　　C. 36 个　　　　　　　D. 24 个

🔍【思路分析】

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1. 解析限制条件： - 无重复数字： 5个数字排5个位置，属于全排列模型的变形。
   • 偶数： 末位（个位）数字必须是偶数，即个位只能选 2 或 4。
   • 小于 50000： 首位（万位）数字不能是 5。因此万位只能从 1，2，3，4 中选择。
2. 处理位置冲突： 发现数字 2 和 4 既可能作为个位的偶数，又可能作为万位的首位。这种首尾位置的互斥冲突需要优先进行分类讨论。
3. 分类计数： 可以按照个位填 2 还是填 4 进行分类，再依次安排万位及中间的三位数字。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据偶数的性质，五位数的个位数字只能从 2，4 中选择。因为 2 和 4 同时也受到万位“小于 50000（首位不能填5）”的条件制约，故按个位数字的取值分为以下两类讨论：

第一类：个位数字填 2

1. 确定个位： 有 1 种填法（只能填 2）；
2. 确定万位： 五位数要小于 50000，万位不能填 5。又因为数字 2 已经被个位占用，所以万位只能从 1，3，4 中选择，有 ${\text{C}}_3^1=3$ 种填法；
3. 确定中间三位（千、百、十位）： 此时还剩下 3 个没有使用的数字（包含5），任意排列到中间的三个位置，有 ${\text{A}}_3^3=6$ 种填法。 根据分步乘法计数原理，第一类情况共有： $N_1=1\times 3\times {\text{A}}_3^3=1\times 3\times 6=18\text{ 种}$

第二类：个位数字填 4

1. 确定个位： 有 1 种填法（只能填 4）；
2. 确定万位： 同理，五位数要小于 50000，万位不能填 5。由于数字 4 已经被个位占用，所以万位只能从 1，2，3 中选择，有 ${\text{C}}_3^1=3$ 种填法；
3. 确定中间三位（千、百、十位）： 剩下的 3 个数字进行全排列，有 ${\text{A}}_3^3=6$ 种填法。 根据分步乘法计数原理，第二类情况共有： $N_2=1\times 3\times {\text{A}}_3^3=1\times 3\times 6=18\text{ 种}$

根据分类加法计数原理，满足条件的小于 50000 的偶数共有： $N=N_1+N_2=18+18=36\text{ 个}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 特殊位置与特殊元素的排列组合应用，有限制条件排列问题的分类讨论策略。
2. 核心方法： * 特殊位置优先法： 优先处理限制最严格的“首”和“尾”两个位置。
   • 元素分类突破： 当一个元素同时受限于多个位置（如本题中的 2 和 4 既受限于个位又受限于万位），直接对该元素所在的某一位置分类是解题的关键。
3. 避坑指南： * 重复计数或漏计： 若不分类，直接认为个位有 2 种、万位有 3 种，就会忽略“个位选了2或4之后，万位可选数也会随之变化”的联动制约，从而得出 $2\times 3\times 6=36$（虽然本题数值撞巧相同，但缺乏逻辑严谨性，若数字换成包含5以上的元素则会彻底出错）。
   • 漏看条件： 审题时注意是“没有重复数字”，若看成可重复数字，解法将完全不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于典型的数字排列问题，源于教材排列组合章节中关于“特殊位置优先”原则的经典基础习题。在实际生活及计算机科学中，这属于**带约束条件的有限状态搜寻计数（Constraint Satisfaction Problem）**的初等数学表现形式。
2. 结论推广： 设由 $n$ 个不同的非零正整数（包含 $m$ 个偶数，$k$ 个大于或等于设定阈值首位的限制数）组成无重复的 $n$ 位数。当首尾冲突时，通用的数学模型均需要通过对尾项集合 $M_{\text{偶}}$ 进行拆分，使之与首项限制集解耦，再进行分步全排列运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1991-三南-13 单-数字排列的计数
• 1990-广东理-04 单-排列分排计数
• 1992-上海-09 填-排列计数