1987-广东理-02 单-指数方程

本题导读

本题考查指数方程，换元后解二次方程。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 指数方程 $2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0$ 的解集是()

A. $\{1\}$　　　　　　　　B. $\{\frac{1}{2},1\}$　　　　　　　　C. $\{-1,\frac{1}{2}\}$　　　　　　　　D. $\{-1,1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=2^x$，$2t^2-5t+2=0$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=2^x>0$，则 $2t^2-5t+2=0\Rightarrow (2t-1)(t-2)=0$，$t=\frac{1}{2}$ 或 $2$，即 $x=-1$ 或 $1$。解集 $\{-1,1\}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程

核心方法：$2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0$，令 $t=2^x$ 得 $2t^2-5t+2=0$。

避坑指南：$t=\frac{1}{2}$ 或 $2$，即 $x=-1$ 或 $1$，解集 $\{-1,1\}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数方程换元。

结论推广：$a\cdot t^2+b\cdot t+c=0$ 换元 $t=a^x$。

方法推广：换元法解指数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-01 填-指数方程
• 1988-全国文-17 填-指数方程
• 1990-全国文-01 单-对数方程的求解