1987-广东文-29 填-二项式系数的和

本题导读

本题考查二项式展开式系数的和，以及赋值法。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 设 $(1-x{)}^7=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+a_6{x}^6+a_7{x}^7$，则 $a_0+a_2+a_4+a_6$ 的值是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

偶次项系数和 $=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$。

✅【答案】

Success

$64$

✍【详细解析】

Abstract

记 $f(x)=(1-x{)}^7$。$f(1)=0$ 给出奇偶次系数和相等，$f(-1)=2^7=128$ 给出奇偶次系数和之差。故偶次项系数和 $a_0+a_2+a_4+a_6=\frac{f(1)+f(-1)}{2}=\frac{0+128}{2}=64$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数的和

核心方法：$(1-x{)}^7$ 展开，$a_0+a_2+a_4+a_6=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$。

避坑指南：$f(1)=0$、$f(-1)=2^7=128$，和 $=64$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数和。

结论推广：$a_0+a_2+\cdots =\frac{f(1)+f(-1)}{2}$。

方法推广：赋值法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-19 单-二项式系数的求和
• 1988-上海-08 填-二项式系数
• 1989-全国文-05 单-二项式展开系数的和