1987-全国文-13 填-不相邻的排列计数

本题导读

本题考查不相邻的排列计数问题。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 由数字 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 组成没有重复数字且数字 $1$ 与 $2$ 不相邻的五位数，求这种五位数的个数.

🔍【思路分析】

破题导航

总数减去 1、2 相邻的情况。

✅【答案】

Success

$72$

✍【详细解析】

Abstract

总数 $A_5^5=120$；1、2 相邻视为一个元素，有 $A_4^4\cdot 2=48$ 种。故不相邻的有 $120-48=72$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不相邻的排列计数

核心方法：五位数中 1、2 不相邻：总数 $A_5^5$ 减去 1、2 相邻（捆绑）$A_4^4\cdot 2$。

避坑指南：$120-48=72$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不相邻排列。

结论推广：$n$ 个元素中某两个不相邻的排列数为 $A_n^n-A_{n-1}^{n-1}\cdot 2$。

方法推广：捆绑法处理相邻，用补集求不相邻。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-09 单-数字排列计数
• 1990-全国文-12 单-受限排列计数
• 1988-全国文-14 单-组合计数（至少含次品）