1986-广东理-23 单-复合函数的图象

本题导读

本题考查复合函数图象的异同。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 设函数 $y=\tan (\arctan 2x)$，$y=\arctan (\tan 2x)$ 与 $y=\sin (\arcsin 2x)$ 的图象分别记为 $l_1$，$l_2$ 与 $l_3$，则 ()

A. $l_1$，$l_2$，$l_3$ 都相同

B. 只有 $l_1$ 与 $l_2$ 相同

C. 只有 $l_1$ 与 $l_3$ 相同

D. 只有 $l_2$ 与 $l_3$ 相同

E. $l_1$，$l_2$，$l_3$ 都不相同

🔍【思路分析】

破题导航

三式定义域与值域各不相同。

✅【答案】

Success

E

✍【详细解析】

Abstract

$l_1$：$\tan (\arctan 2x)=2x$，定义域 $\mathbf{R}$；$l_2$：$\arctan (\tan 2x)$，定义域 $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$，值域 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$；$l_3$：$\sin (\arcsin 2x)=2x$，但定义域 $|2x|\le 1$ 即 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$。三者定义域或值域不同，图象都不相同。故选 E。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互为反函数的两个函数复合后定义域的收缩；“同一函数”的三条判据。
2. 核心方法：先把三个式子都化成最简形式（都是 $2x$），再逐个查定义域——化简只会把差别抹平，定义域才留得住差别。
3. 避坑指南：①看到 $\tan (\arctan 2x)$ 写 $2x$、看到 $\sin (\arcsin 2x)$ 也写 $2x$，然后判”相同”，这正是本题设的陷阱；②$\arctan (\tan 2x)$ 的值域锁在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，$x=\frac{\pi }{4}$ 时内层 $2x=\frac{\pi }{2}$ 无定义，所以连 $\mathbf{R}$ 都取不满；③三个式子两两都不同，答案只能落在”全不同”那一项上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：1986 年广东卷把三个”先取反、再取原”的复合式摆在一起问图象是否相同。它考的不是化简——三个式子化简后都是 $2x$，差别全在定义域上。
2. 结论推广：两条方向要分清。$f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ 只在 $f^{-1}$ 的值域（即 $f$ 的定义域）上成立，所以 $\tan (\arctan 2x)=2x$ 能取满 $\mathbf{R}$；反过来 $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ 只在 $f$ 的值域上成立，所以 $\sin (\arcsin 2x)$ 被压回 $|2x|\le 1$，$\arctan (\tan 2x)$ 被压回 $-\frac{\pi }{2}<\cdot <\frac{\pi }{2}$。一句话：先反后原不丢，先原后反会丢。
3. 方法推广：判断两个式子是不是同一函数只看三条——定义域、对应关系、值域。任何一条不同，图象就不同；本题三个式子恰好各差一条。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-18 单-函数图象识别
• 1990-广东理-25 单-函数图象的平移与对称