1986-广东文-07 单-对数函数的值域

本题导读

本题考查对数函数在给定区间上的值域。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$，$x\in (0,8]$ 的值域是 ()

A. $[-3,+\infty )$　　B. $[3,+\infty )$　　C. $(-\infty ,-3]$　　D. $(-\infty ,3]$　　E. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

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底数 $\frac{1}{2}<1$，函数递减；$x=8$ 时取最小值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减。$x=8$ 时 $y={\log }_{\frac{1}{2}}8=-3$ 为最小值；$x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$。故值域为 $[-3,+\infty )$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的值域

核心方法：$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 递减，$x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$。

避坑指南：值域 $[-3,+\infty )$，选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 19 题同考对数函数值域。

结论推广：对数函数在闭区间上的值域端点在 $x$ 的端点处取得。

方法推广：底数小于 1 时函数递减，注意端点开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-19 单-对数函数的值域
• 1987-上海-13 单-对数函数的值域