1986-全国理-09 单-函数图象的识别

本题导读

本题考查二次函数的图象与系数关系，以及一次函数的图象与系数关系。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 在下列各图中， $y=a{x}^2+bx$ 与 $y=ax+b$ ($ab\ne 0$) 的图象只可能是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 的系数特征：
   • 根据开口方向确定 $a$ 的正负号。
   • 抛物线必过原点 $(0,0)$。根据对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$ 的左右位置，结合 $a$ 的符号推导 $b$ 的正负号。
2. 提取直线 $y=ax+b$ 的系数特征：
   • 根据直线的倾斜方向（单调性）确定斜率 $a$ 的正负号。
   • 根据直线与 $y$ 轴的交点 $(0,b)$ 位置确定截距 $b$ 的正负号。
3. 检验各选项中 $a,b$ 符号的逻辑相容性，排除产生符号对抗冲突的选项。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 开口方向由 $a$ 决定，对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$；直线 $y=ax+b$ 的斜率由 $a$ 决定，在 $y$ 轴上的截距由 $b$ 决定。两者中的 $a$、$b$ 是同一个量，符号必须一致。 分析选项： A 选项：抛物线开口向上得 $a>0$，对称轴在 $y$ 轴右侧得 $b<0$；但直线递增得 $a>0$、截距在正半轴得 $b>0$，$b$ 的符号矛盾，错误； B 选项：抛物线开口向上得 $a>0$；但直线递减得 $a<0$，$a$ 的符号矛盾，错误； C 选项：抛物线开口向下得 $a<0$，对称轴在 $y$ 轴右侧得 $b>0$；直线递减得 $a<0$、截距在正半轴得 $b>0$，两者一致，正确； D 选项：抛物线开口向下得 $a<0$；但直线递增得 $a>0$，$a$ 的符号矛盾，错误。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 符号一致性：抛物线与直线中的 $a$、$b$ 是同一个参数，两图反映的 $a$、$b$ 符号必须一致，否则矛盾。
• $b$ 的判定：抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 常数项为 0，恒过原点，判定 $b$ 的符号只能靠对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$ 的位置，不能照搬 $y=a{x}^2+bx+c$ 中看与 $y$ 轴交点的老办法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于二次函数与一次函数图象的系数决定关系，考查 $a$、$b$ 在两图象中的几何意义（开口、对称轴、斜率、截距）及符号一致性判断。

2. 结论推广：对于 $y=a{x}^2+bx+c$ 与 $y=ax+b$ 这对图象，只要抓住 $a$ 的符号（开口/斜率）与 $b$ 的符号（对称轴/截距）是否一致，就能快速排除错误选项。

3. 方法推广：图象识别题用「系数符号矛盾排除法」，先由抛物线定 $a$、$b$ 符号，再与直线的斜率、截距比对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-10 单-函数图象的识别
• 1988-上海-18 单-函数图象识别
• 1991-上海-14 单-幂函数图象的识别