1986-全国文-11 填-指数方程

本题导读

本题考查指数方程，需化为同底数幂。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 求方程 $\sqrt{25^{x^2+x-\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{5}$ 的解.

🔍【思路分析】

破题导航

左边 $=5^{x^2+x-\frac{1}{2}}$，右边 $=5^{\frac{1}{4}}$，比较指数。

✅【答案】

Success

$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{25^{x^2+x-\frac{1}{2}}}=5^{x^2+x-\frac{1}{2}}$，$\sqrt[4]{5}=5^{\frac{1}{4}}$。由底数 $5>1$ 且指数函数单射，得 $x^2+x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，即 $x^2+x-\frac{3}{4}=0$，$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{3}{2})=0$，故 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=-\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程

核心方法：$\sqrt{25^{x^2+x-\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{5}$ 化为 $5^{x^2+x-\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{4}}$。

避坑指南：$x^2+x-\frac{3}{4}=0$，$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{3}{2})=0$，$x=\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{3}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同底数幂相等则指数相等。

结论推广：$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$。

方法推广：化同底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-01 填-指数方程
• 1988-全国文-17 填-指数方程
• 1987-广东文-04 单-指数方程