1986-上海理-13 单-半角符号与象限

本题导读

本题考查由半角函数值确定角的终边位置。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 若 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{3}{5}$，$\cos \frac{\theta }{2}=-\frac{4}{5}$，则 $\theta$ 角的终边在 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{\theta }{2}$ 为第二象限角，约 $143^{\circ }$；$\theta =2\cdot \frac{\theta }{2}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos \frac{\theta }{2}=-\frac{4}{5}<0<\sin \frac{\theta }{2}=\frac{3}{5}$，$\frac{\theta }{2}$ 在第二象限，且 $\frac{\theta }{2}=\pi -\arcsin \frac{3}{5}\approx 143^{\circ }$。故 $\theta \approx 286^{\circ }$，终边在第四象限。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角符号与象限

核心方法：$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{3}{5}>0$、$\cos \frac{\theta }{2}=-\frac{4}{5}<0$，$\frac{\theta }{2}$ 为第二象限角且约 $143^{\circ }$。

避坑指南：$\theta =2\cdot \frac{\theta }{2}\approx 286^{\circ }$ 终边在第四象限，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角值定象限。

结论推广：由 $\frac{\theta }{2}$ 的范围放大到 $\theta$。

方法推广：注意 $|\cos \frac{\theta }{2}|>|\sin \frac{\theta }{2}|$ 的限定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1987-上海-13 单-对数函数的值域
• 1989-上海-13 单-不等关系的判断