1983-全国文-04 单-半角公式的符号

本题导读

本题考查半角公式的符号选取。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） 对任何 $180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$，$\cos \frac{\alpha }{2}$ 的值等于 ()

A. $\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$　B. $\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$　C. $-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$　D. $-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\alpha /2\in (90^{\circ },180^{\circ })$，余弦为负，取负号。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$，得 $90^{\circ }<\frac{\alpha }{2}<180^{\circ }$，$\frac{\alpha }{2}$ 在第二象限，故 $\cos \frac{\alpha }{2}<0$。由半角公式 $\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$，此时取负号，得 $\cos \frac{\alpha }{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式的符号

核心方法：半角公式加象限定符号

避坑指南：$180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$ 时 $\alpha /2$ 在第二象限，$\cos \frac{\alpha }{2}<0$ 取负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式与象限

结论推广：$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$ 符号由 $\alpha /2$ 象限定

方法推广：象限定符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-13 单-半角符号与象限
• 1986-上海理-13 单-半角符号与象限