1985-广东理-17 单-对数函数的单调性

本题导读

本题考查对数函数单调性与底数取值范围。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 如果 $y={\log }_{(a^2-1)}x$ 在 $(0,+\infty )$ 内是减函数，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $|a|>1$　　　　B. $|a|<\sqrt{2}$　　　　C. $a>\sqrt{2}$　　　　D. $a<-\sqrt{2}$　　　　E. $1<|a|<\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

减函数需底数 $0<a^2-1<1$。

✅【答案】

Success

E

✍【详细解析】

Abstract

对数函数 $y={\log }_{b}x$ 在 $(0,+\infty )$ 内是减函数，需 $0<b<1$，即 $0<a^2-1<1$，得 $1<a^2<2$，即 $1<|a|<\sqrt{2}$。选 E。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的单调性

核心方法：对数的底数范围控制

避坑指南：减函数需 $0<a^2-1<1$，即 $1<|a|<\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数单调性的判定

结论推广：${\log }_{a}x$ 的增减由 $a$ 与 1 的大小决定

方法推广：底数范围与单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-13 单-对数函数的定义域
• 1986-广东理-19 单-对数函数的值域