1993-新高考理-10 单-不等式性质的判定

本题导读

本题考查不等式的性质，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 若 $a,b$ 是任意实数，且 $a>b$，则 ()

A. $a^2>b^2$　B. $\frac{b}{a}<1$　　C. $\lg (a-b)>0$　　D. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（反例排查）： 针对 A、B、C 三个选项，利用“任意实数”这一条件，尝试代入包含负数、零等特殊情况的反例，检验不等式是否恒成立。
2. 第二步逻辑（性质证明）： 针对 D 选项，将其转化为指数函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的形式。利用底数在 $(0,1)$ 区间内指数函数的单调递减性质，直接由 $a>b$ 推导函数值的大小关系。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于 A 选项：若取 $a=1,b=-2$，满足 $a>b$，但 $a^2=1,b^2=4$，此时 $a^2<b^2$，故 A 错误； 对于 B 选项：若取 $a=-1,b=-2$，满足 $a>b$，但 $\frac{b}{a}=\frac{-2}{-1}=2>1$，故 B 错误； 对于 C 选项：若取 $a=2,b=1.5$，满足 $a>b$，此时 $a-b=0.5$。由于 $\lg 0.5<\lg 1=0$，故 C 错误； 对于 D 选项：构造指数函数 $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。因为底数 $0<\frac{1}{2}<1$，所以函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。 已知 $a>b$，根据单调递减函数的性质，自变量越大，函数值越小， 可得 $f(a)<f(b)$，即 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$ 恒成立。

故正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 不等式的性质，特别是与指数函数 $y=a^x$（当 $0<a<1$ 时单调递减）的结合考查。
2. 核心方法： 特值法与性质法结合。在选择题中，面对“任意实数”这类条件，使用正负零等特殊值能以最快速度排除错误选项。而对于正确选项，则需要运用严谨的单调性理论进行支撑。
3. 避坑指南： - A 选项极易错选，很多学生会无意识默认 $a,b$ 为正数，从而忽略了负数平方后绝对值变大导致不等号方向改变的情况。
   • B 选项需特别注意分母不为 0（当 $a=0$ 时无意义）以及同号、异号对不等号的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题源自高一数学必修中“不等式基本性质”与“指数函数、对数函数性质”的交汇，是高考中经久不衰的典型辨析类基础题。
2. 结论推广： 设 $a>b$，对任意实数成立的结论通常包括：
   • 加减法：$a+c>b+c$
   • 奇次幂：$a^{2k+1}>b^{2k+1}(k\in \mathbf{N})$
   • 增函数映射：$a^3>b^3$ ； ${\text{e}}^a>{\text{e}}^b$ ； $\ln (a-b+1)>0$
   • 减函数映射：${\left(\frac{1}{3}\right)}^a<{\left(\frac{1}{3}\right)}^b$ ； $-a<-b$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1985-广东理-17 单-对数函数的单调性
• 1986-全国文-05 单-指数式的大小比较