1985-全国理-05 单-排列计数（五位数）

本题导读

本题考查排列计数中的定位限制问题，以及间接法（全集减子集）的运用。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 用 $1,2,3,4,5$ 这五个数字，可以组成比 $20000$ 大，并且百位数不是数字 $3$ 的没有重复数字的五位数，共有 ()

A. $96$ 个　　B. $78$ 个　　C. $72$ 个　　D. $64$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. “比 $20000$ 大”等价于首位为 $2,3,4,5$ 之一。
2. 先算首位为 $2,3,4,5$ 的全体五位数，再减去百位为 $3$ 的情形。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 比 $20000$ 大即首位为 $2,3,4,5$ 之一，共有 $4\times A_4^4=4\times 24=96$ 个。 其中百位为 $3$ 的：首位不能是 $3$，只能是 $2,4,5$ 三种；百位固定为 $3$ 后，其余三个位置全排列 $3!=6$ 种，共 $3\times 6=18$ 个。 故所求为 $96-18=78$ 个。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 间接法：“百位不是 $3$“这类否定条件，用”全体减去百位为 $3$“更简洁。
• 定位限制优先：首位（比 $20000$ 大）与百位（非 $3$）是两处特殊限制，逐一处理避免重复或遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于排列组合中”有限制条件的计数”，考查特殊位置（首位、百位）的优先安排与间接法（排除法），是分类加法与分步乘法原理的经典应用。

2. 结论推广：含”至多""至少""不是某位”的计数问题，用全集减去反面（对称思想）处理。

3. 方法推广：定位限制条件优先处理首位与特殊位，其余位置全排列。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-15 单-排列数的实际应用（三位偶数）