1985-全国理-02 单-充分必要条件（三角）

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及正切函数通解的集合包含关系。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） $\tan x=1$ 是 $x=\frac{5\pi }{4}$ 的 ()

A. 必要条件　　B. 充分条件　　C. 充分必要条件　　D. 既不充分又不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $p:\tan x=1$，$q:x=\frac{5\pi }{4}$，分别判断 $p\Rightarrow q$ 与 $q\Rightarrow p$ 的真假。
2. 由 $\tan x=1$ 解出通解 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$，$x=\frac{5\pi }{4}$ 只是其中一解。
3. 据此比较两个命题所对应解集的包含关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 由 $\tan x=1$ 得通解 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$，而 $x=\frac{5\pi }{4}$ 正是 $k=1$ 时的特解，故 $\left\{\frac{5\pi }{4}\right\}$ 是解集 $\left\{x\mid x=\frac{\pi }{4}+k\pi \right\}$ 的真子集。 于是 $x=\frac{5\pi }{4}\Rightarrow \tan x=1$ 成立，但 $\tan x=1$ 不能推出 $x=\frac{5\pi }{4}$（取 $x=\frac{\pi }{4}$ 即反例）。 因此 $\tan x=1$ 是 $x=\frac{5\pi }{4}$ 的必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 必要条件的判定：$q\Rightarrow p$ 为真、$p\Rightarrow q$ 为假时，$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。
• 多值性反例：$\tan x=1$ 的解有无穷多个，$x=\frac{5\pi }{4}$ 只是其一，切勿误判为充分必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材”充分条件与必要条件”一节，考查用集合包含关系刻画条件关系，并借三角方程通解设置”多值”陷阱，是概念辨析的经典题型。

2. 结论推广：$\sin x=a$、$\cos x=a$、$\tan x=a$ 这类多值方程作为条件，只能是”某特解”的必要条件，不可能是充分条件。

3. 方法推广：含三角等式的条件判断题，先解通解、再比较集合包含关系，即可快速判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-09 单-充分必要条件的传递
• 1989-全国文-16 填-充分必要条件