1980-全国理-01 解-因式分解的数域分解

本题导读

本题考查多项式在不同数域内的因式分解，核心是先提取公因式，再用平方差公式逐层分解，并注意数域边界。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)）

1. 将多项式 $x^{5}y-9x{y}^5$ 分别在下列范围内分解因式：

(1) 有理数范围；

(2) 实数范围；

(3) 复数范围.

🔍【思路分析】

破题导航

先提取公因式 $xy$ 得 $xy(x^4-9y^4)$，再用平方差分解为 $(x^2-3y^2)(x^2+3y^2)$；有理数域到此为止，实数域可分解 $x^2-3y^2$，复数域进一步分解 $x^2+3y^2$。

✅【答案】

Success

(1) $xy(x^2-3y^2)(x^2+3y^2)$ (2) $xy(x-\sqrt{3}y)(x+\sqrt{3}y)(x^2+3y^2)$ (3) $xy(x+\sqrt{3}iy)(x-\sqrt{3}iy)(x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)$

✍【详细解析】

Abstract

先提取公因式并利用平方差公式，得 $x^{5}y-9x{y}^5=xy(x^4-9y^4)=xy(x^2-3y^2)(x^2+3y^2)$。 (1) 在有理数范围内，$x^2-3y^2$ 的根为 $x=\pm \sqrt{3}y$，不是有理数倍的 $y$，而 $x^2+3y^2$ 也没有有理数一次因式，因此分解为 $xy(x^2-3y^2)(x^2+3y^2)$。 (2) 在实数范围内，$x^2-3y^2=(x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)$，而 $x^2+3y^2$ 在实数范围内不能再分解，所以分解为 $xy(x^2+3y^2)(x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)$。 (3) 在复数范围内，$x^2+3y^2=(x+\sqrt{3}iy)(x-\sqrt{3}iy)$，故完全分解为 $xy(x+\sqrt{3}iy)(x-\sqrt{3}iy)(x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：因式分解的数域分解

核心方法：提公因式与平方差公式

避坑指南：先提取公因式 $xy$，再用平方差逐层分解；注意数域边界

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多项式的因式分解

结论推广：不同数域下因式分解的彻底程度不同

方法推广：提公因式与平方差公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1977-安徽文-03 解-因式分解
• 1977-辽宁-02 解-因式分解