1977-吉林-12 解-椭圆标准方程

本题导读

本题考查椭圆标准方程（参考题）。核心在于配方化为标准式后读出长、短半轴与离心率。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 把 $4x^2+9y^2+8x-36y+4=0$ 化成标准方程，并指出它所代表的曲线的长、短半轴，离心率.

🔍【思路分析】

破题导航

分组配方得 $4(x+1{)}^2+9(y-2{)}^2=36$，化为 $\frac{(x+1{)}^2}{3^2}+\frac{(y-2{)}^2}{2^2}=1$，$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。

✅【答案】

Success

椭圆 $\frac{(x+1{)}^2}{9}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$，长半轴 $a=3$，短半轴 $b=2$，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

原方程可化为 $4(x^2+2x+1)+9(y^2-4y+4)-36=0$，即 $4(x+1{)}^2+9(y-2{)}^2=36$。标准式为 $\frac{(x+1{)}^2}{3^2}+\frac{(y-2{)}^2}{2^2}=1$。此方程表示以 $(-1,2)$ 为中心的椭圆，长半轴 $a=3$，短半轴 $b=2$，其离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{9-4}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程

核心方法：配方化标准方程

避坑指南：配方 $4(x+1{)}^2+9(y-2{)}^2=36$ 化椭圆标准式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆

结论推广：$a=3$，$b=2$，$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$

方法推广：配方化标准

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-24 单-椭圆的标准方程
• 1987-广东文-27 填-椭圆的标准方程