1993-旧高考理-27 解-椭圆方程的求解

本题导读

本题考查椭圆方程的求解。核心在于以焦点所在直线建系，把角度与面积条件全部坐标化，再解出 $a^2$、$b^2$。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 在面积为 $1$ 的 $△PMN$ 中，$\tan \angle PMN=\frac{1}{2}$，$\tan \angle MNP=-2$，建立适当的坐标系，求出以 $M$、$N$ 为焦点且过点 $P$ 的椭圆方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $MN$ 为 $x$ 轴、中垂线为 $y$ 轴建系，$M=(-c,0)$，$N=(c,0)$。
2. 由两角正切联立直线方程解出 $P=\left(\frac{5c}{3},\frac{4c}{3}\right)$。
3. 面积定 $c^2=\frac{3}{4}$；代椭圆方程解 $a^2$，舍去不合题意的根。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{\frac{15}{4}}+\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

以 $MN$ 所在直线为 $x$ 轴、$MN$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建系。设 $M=(-c,0)$、$N=(c,0)$、$P=(x,y)$，并取 $y>0$。 由 $\tan \angle PMN=\frac{1}{2}$ 得 $\frac{y}{x+c}=\frac{1}{2}$；$\tan \angle MNP=-2<0$ 说明 $\angle MNP$ 为钝角，即 $P$ 在 $N$ 的右上方，得 $\frac{y}{x-c}=2$。 联立 $y=\frac{x+c}{2}$ 与 $y=2(x-c)$：$4x-4c=x+c$，解得 $x=\frac{5c}{3}$、$y=\frac{4c}{3}$。 $△PMN$ 的底 $MN=2c$，高为 $y=\frac{4c}{3}$，由面积 $\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot \frac{4c}{3}=1$ 得 $c^2=\frac{3}{4}$。 设椭圆长半轴 $a$、短半轴 $b$，则 $b^2=a^2-c^2$ 且 $P$ 在椭圆上：$\frac{25c^2}{9a^2}+\frac{16c^2}{9b^2}=1$。令 $u=\frac{a^2}{c^2}$，代入 $c^2=\frac{3}{4}$ 化简得 $9u^2-50u+25=0$，解得 $u=5$ 或 $u=\frac{5}{9}$。因 $a^2>c^2$ 需 $u>1$，舍去 $u=\frac{5}{9}$，故 $a^2=5c^2=\frac{15}{4}$，$b^2=a^2-c^2=3$。 所求椭圆方程为 $\frac{x^2}{\frac{15}{4}}+\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程的求解 核心方法：由两角正切定出 $P=\left(\frac{5c}{3},\frac{4c}{3}\right)$，面积定 $c^2=\frac{3}{4}$，解出 $a^2=\frac{15}{4}$、$b^2=3$ 避坑指南：以 $MN$ 为 $x$ 轴建系，几何条件全部转坐标方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆定义与待定系数法 结论推广：由焦点三角形的角度与面积可完全定出 $a^2$、$b^2$ 方法推广：解析几何建系后一切几何条件坐标化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2019-上海卷-20 解-椭圆性质
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程