1977-云南-06 解-外接圆面积最值

本题导读

本题考查直角三角形外接圆面积的最值。核心在于用斜边 $2R$ 与锐角 $\beta$ 表示直角边，由面积定值反解 $R^2$。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 直角三角形中的一个锐角为 $\beta$，面积是 12.(1)求此三角形的外接圆的面积；(2)当 $\beta$ 取何值时，外接圆的面积最小.

🔍【思路分析】

破题导航

斜边=直径 2R，两直角边为 $2R\sin \beta$、$2R\cos \beta$；面积 $=\frac{1}{2}\cdot 2R\sin \beta \cdot 2R\cos \beta =12$ 得 $R^2=\frac{12}{\sin 2\beta }$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{12\pi }{\sin 2\beta }$；(2)$\beta =45^{\circ }$ 时最小，最小面积为 $12\pi$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设直角三角形为 $ABC$，$\angle B=\beta$，斜边即外接圆直径 $2R$。两直角边分别为 $2R\sin \beta$ 与 $2R\cos \beta$。依题意 $\frac{1}{2}\cdot 2R\sin \beta \cdot 2R\cos \beta =12$，即 $R^2=\frac{12}{\sin 2\beta }$。故外接圆面积 $S=\pi R^2=\frac{12\pi }{\sin 2\beta }$。(2)当 $\sin 2\beta =1$，即 $2\beta =90^{\circ }$、$\beta =45^{\circ }$ 时，$S$ 最小，最小面积为 $12\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：外接圆面积最值

核心方法：用斜边 2R 与锐角 β 表示两直角边，面积定值反解 R²

避坑指南：外接圆面积 S=πR² 随 sin2β 增大而减小，β=45° 时 sin2β 最大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于解三角形与函数最值的结合，考查几何量用角参表示。

结论推广：“面积定值→半径 R 用 β 表示→求 πR² 最值”是这类题的通用链路。

方法推广：直角边 = 2Rsinβ、2Rcosβ 是斜边为直径这一结论的直接应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-03 解-直角三角形的高
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值