1977-甘肃-03 解-外接圆求弦长

本题导读

本题考查圆的性质求弦长。核心在于直径所对圆周角 $90^{\circ }$，同弧圆周角相等证等腰直角。

📌【题干】

Question

（1977年甘肃卷） $AD$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径，$AD=6$，$\angle DAC=\angle ABC$，求 $AC$（精确到 0.01）.

🔍【思路分析】

破题导航

连接 CD，$\angle ACD=90^{\circ }$；$\angle ADC=\angle ABC=\angle DAC$，故 $△ADC$ 等腰直角，$AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$。

✅【答案】

Success

$AC=3\sqrt{2}\approx 4.24$

✍【详细解析】

Abstract

连接 $CD$。因为 $AD$ 是直径，所以 $\angle ACD=90^{\circ }$。又 $\angle ADC=\angle ABC$（同弧上的圆周角相等），而 $\angle ABC=\angle DAC$（已知），所以 $\angle ADC=\angle DAC$，$△ADC$ 是等腰直角三角形。故 $AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 6=3\sqrt{2}\approx 4.24$。答：$AC$ 约为 4.24。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：外接圆求弦长

核心方法：直径所对圆周角 90°，同弧圆周角相等证等腰直角

避坑指南：∠ACD=90°、∠ADC=∠DAC 得等腰直角，AC=√2/2·AD=3√2≈4.24。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的性质，考查直径所对圆周角与同弧圆周角。

结论推广：直径所对圆周角为直角是圆中求线段的核心工具。

方法推广：由 ∠ADC=∠ABC=∠DAC 推出等腰直角是破题关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1977-云南-06 解-外接圆面积最值
• 1977-山东A-07 解-圆周角证直径