2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性

本题导读

本题考查导数的几何意义与单调性。核心在于导数求切线、定单调区间。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3-3a{x}^2+3bx$ 的图象与直线 $12x+y-1=0$ 相切于点 $(1,-11)$。

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 切点 $(1,-11)$ 在曲线上：$f(1)=1-3a+3b=-11$，即 $-3a+3b=-12$，$b-a=-4$。
2. 直线 $12x+y-1=0$ 即 $y=-12x+1$，斜率 $-12$；相切故 $f^{\prime }(1)=-12$。
3. $f^{\prime }(x)=3x^2-6ax+3b$，$f^{\prime }(1)=3-6a+3b=-12$，即 $b-2a=-5$。
4. 联立 $b-a=-4$、$b-2a=-5$，解得 $a=1,b=-3$。
5. (2) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$，$x<-1$ 或 $x>3$ 时 $f^{\prime }>0$，$-1<x<3$ 时 $f^{\prime }<0$。

✅【答案】

Success

(1) $a=1$，$b=-3$

(2) 增区间 $(-\infty ,-1)$、$(3,+\infty )$，减区间 $(-1,3)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为切点 $(1,-11)$ 在函数图象上，所以 $f(1)=-11$，即 $1-3a+3b=-11,\text{即 }b-a=-4.$ 直线 $12x+y-1=0$ 即 $y=-12x+1$，斜率为 $-12$，相切故 $f^{\prime }(1)=-12$． 由 $f^{\prime }(x)=3x^2-6ax+3b$，得 $3-6a+3b=-12$，即 $b-2a=-5$． 联立 $\{\begin{array}{l}b-a=-4\\ b-2a=-5\end{array}$ 解得 $a=1$，$b=-3$．

（2）此时 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$． 当 $x\in (-\infty ,-1)$ 或 $x\in (3,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (-1,3)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数切线与单调性

核心方法：切点 $(1,-11)$：$f(1)=-11$ 且 $f^{\prime }(1)=-12$；$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax+3b$，解得 $a=1,b=-3$；$f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3)$，增 $(-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$ 减 $(-1,3)$

避坑指南：切点既在曲线上又在切线上，且切线斜率 $=$ 导数；直线 $12x+y-1=0$ 斜率 $-12$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 导数几何意义与单调性

结论推广: 切点满足 $f(x_0)=y_0$ 且 $f^{\prime }(x_0)=k$

方法推广: 联立两方程求参数，再讨论导函数符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-07 单-切线平行定参
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2008-浙江文-21 解-三次函数切线最值
• 2009-北京文-18 解-导数切线与极值