2006-重庆文-15 填-对数函数单调解不等式

本题导读

本题考查对数函数，以及单调性。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 设 $a>0$，$a\ne 1$，函数 $f(x)={\log }_a(x^2-2x+3)$ 有最小值，则不等式 ${\log }_a(x-1)>0$ 的解集为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2$，其最小值 $2>0$，定义域为 $\mathbf{R}$。
2. $f(x)$ 有最小值 ⟺ 外层对数与内层二次的单调性”一致”有下界，即底 $a>1$（$0<a<1$ 时 ${\log }_a$ 递减，$x^2-2x+3$ 无上界，$f$ 无最小值）。
3. $a>1$ 时 ${\log }_a(x-1)>0={\log }_{a}1⟺x-1>1$，$x>2$。

✅【答案】

Success

$(2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2⩾2$，故 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$． $f(x)$ 有最小值当且仅当底数 $a>1$（此时 ${\log }_{a}u$ 关于 $u$ 递增，$u=x^2-2x+3$ 有最小值 $2$，复合后 $f$ 有最小值 ${\log }_{a}2$；若 $0<a<1$ 则 ${\log }_{a}u$ 递减，$u$ 无上界，$f$ 无最小值）． 于是 ${\log }_a(x-1)>0={\log }_{a}1$，由 $a>1$ 得 $x-1>1$，即 $x>2$． 故解集为 $(2,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数单调解不等式

核心方法：$x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2⩾2$；$f$ 有最小值要求底 $a>1$；${\log }_a(x-1)>0$ 即 $x-1>1$，$x>2$

避坑指南：二次函数 $x^2-2x+3$ 最小值 $2>0$，$f$ 有最小值 ⟺ 底 $a>1$（$0<a<1$ 时 $f$ 无最小值）；${\log }_a(x-1)>0={\log }_{a}1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 对数函数单调性与解不等式

结论推广: 有最小值定底 $a>1$，${\log }_a(x-1)>0⟺x-1>1$

方法推广: 对数不等式化同底，注意底与单调性的对应

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-12 单-对数图象定参数关系
• 2008-江西文-04 单-指对数单调性比较
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较
• 2010-大纲Ⅰ文-07 单-对数与基本不等式