2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角

本题导读

本题考查向量，以及向量模。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 已知三点 $A(2,3)$，$B(-1,-1)$，$C(6,k)$，其中 $k$ 为常数。若 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$，则 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为()

A. $\arccos \left(-\frac{24}{25}\right)$　　　B. $\frac{\pi }{2}$ 或 $\arccos \frac{24}{25}$　　　C. $\arccos \frac{24}{25}$　　　D. $\frac{\pi }{2}$ 或 $\pi -\arccos \frac{24}{25}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AB}=(-1-2,-1-3)=(-3,-4)$，$|AB|=5$。
2. $\overrightarrow{AC}=(6-2,k-3)=(4,k-3)$，$|AC{|}^2=16+(k-3{)}^2$。
3. 由 $|AB|=|AC|$：$25=16+(k-3{)}^2$，$(k-3{)}^2=9$，$k=6$ 或 $k=0$。
4. $k=0$：$\overrightarrow{AC}=(4,-3)$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12+12=0$，夹角 $\frac{\pi }{2}$。
5. $k=6$：$\overrightarrow{AC}=(4,3)$，$\cos \theta =\frac{-12-12}{25}=-\frac{24}{25}$，夹角 $=\pi -\arccos \frac{24}{25}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$，$|AB|=5$；$\overrightarrow{AC}=(4,k-3)$． 由 $|AB|=|AC|$ 得 $16+(k-3{)}^2=25$，即 $(k-3{)}^2=9$，$k=6$ 或 $k=0$． 当 $k=0$ 时 $\overrightarrow{AC}=(4,-3)$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)\times 4+(-4)\times (-3)=0$，夹角为 $\frac{\pi }{2}$； 当 $k=6$ 时 $\overrightarrow{AC}=(4,3)$，$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB||AC|}=\frac{-24}{25}$，夹角为 $\pi -\arccos \frac{24}{25}$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模等求夹角

核心方法：$|AB{|}^2=|AC{|}^2$ 得 $25=16+(k-3{)}^2$，$k=6$ 或 $0$；$\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$，$k=6$ 时 $\overrightarrow{AC}=(4,3)$ 夹角 $\arccos (-\frac{24}{25})$ 舍（钝角与向量方向矛盾），$k=0$ 时 $\overrightarrow{AC}=(4,-3)$ 夹角 $\arccos \frac{24}{25}$

避坑指南：由 $|AB|=|AC|$ 定 $k$ 有两解；夹角须取 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的实际方向（$k=6$ 时 $AB\cdot AC=-24<0$ 但模长已定，需核对选项方向）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量模相等定参数，向量夹角

结论推广: 由 $|AB|=|AC|$ 列方程定 $k$，再算夹角

方法推广: 模长相等有两解，须结合向量实际方向取对应夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角
• 2008-重庆文-20 解-二面角射影与异面角
• 2008-陕西文-15 填-向量命题真伪
• 2008-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形综合