2006-湖北文-15 填-导数类比球体积

本题导读

本题考查导数，以及导数几何意义。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 半径为 $r$ 的圆的面积 $S(r)=\pi r^2$，周长 $C(r)=2\pi r$，若将 $r$ 看作 $(0,+\infty )$ 上的变量，则 $(\pi r^2{)}^{\prime }=2\pi r$　①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为 $R$ 的球，若将 $R$ 看作 $(0,+\infty )$ 上的变量，请你写出类似于①的式子： 　　　　②，②式可以用语言叙述为：　　　　　　　　。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 球的体积 $V(R)=\frac{4}{3}\pi R^3$。
2. 对 $R$ 求导：$V^{\prime }(R)=4\pi R^2$，恰为球的表面积。
3. 类比①：${\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)}^{\prime }=4\pi R^2$。

✅【答案】

Success

${\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)}^{\prime }=4\pi R^2$；球的体积函数的导数等于球的表面积函数

✍【详细解析】

Abstract

球的体积 $V(R)=\frac{4}{3}\pi R^3$，其导数为 $V^{\prime }(R)=\frac{4}{3}\pi \cdot 3R^2=4\pi R^2,$ 而 $4\pi R^2$ 恰为球的表面积 $S(R)$． 类比①式得： ${\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)}^{\prime }=4\pi R^2,$ ②式可叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数类比球体积

核心方法：类比 $S(r)=\pi r^2$ 求导得周长，写 $(\frac{4}{3}\pi R^3{)}^{\prime }=4\pi R^2$

避坑指南：球体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$，导数 $4\pi R^2$ 恰为表面积；叙述要完整

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 导数类比球体积，导数几何意义

结论推广: $(\frac{4}{3}\pi R^3{)}^{\prime }=4\pi R^2$

方法推广: 圆面积求导得周长，球体积求导得表面积，类比记忆

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁文-11 单-球的表面积
• 2008-福建文-11 单-导数图象判定
• 2013-广东卷文-12 填-导数切线平行
• 2014-湖北卷文-21 解-导数比较