2006-浙江文-09 单-线性规划区域面积

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 在平面直角坐标系中，不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0,\\ x-y+2⩾0,\\ x⩽2\end{array}$ 表示的平面区域的面积是 ()

A. $4\sqrt{2}$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 不等式组等价于 $y⩾2-x$、$y⩽x+2$、$x⩽2$。
2. 两条边界直线交于 $(0,2)$；直线 $x=2$ 与它们交于 $(2,0)$、$(2,4)$。
3. 区域是以这三点为顶点的三角形，底边 $|0-4|=4$（竖直），高为 $2$。
4. 面积 $=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

不等式组等价于 $y⩾2-x$、$y⩽x+2$ 和 $x⩽2$。 两条边界直线的交点为 $(0,2)$，直线 $x=2$ 与它们的交点为 $(2,0)$ 和 $(2,4)$。 因而区域是以这三点为顶点的三角形，其底边长为 $4$，到底边的高为 $2$， 面积为 $\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$，故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划区域面积

核心方法：画区域算三角形面积

避坑指南：三条直线围成三角形，顶点 $(0,2)$、$(2,0)$、$(2,4)$，底 $4$ 高 $2$ 面积 $4$；先画准区域再算面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自线性规划的平面区域，考查区域面积而非最值

结论推广: 直线围成三角形直接算面积，推广到四边形区域分割求面积

方法推广: 先求三直线两两交点，判断围成区域形状再算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-10 单-线性规划面积
• 2014-安徽卷文-13 填-线性规划面积