2006-江西文-14 填-反函数求值

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 设 $f(x)={\log }_3(x+6)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，若 $\left[f^{-1}(m)+6\right]\cdot \left[f^{-1}(n)+6\right]=27$，则 $f(m+n)=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $y={\log }_3(x+6)$，反解 $x=3^y-6$，故 $f^{-1}(x)=3^x-6$。
2. $f^{-1}(m)+6=3^m$，$f^{-1}(n)+6=3^n$，题设给出 $3^{m+n}=27=3^3$。
3. 故 $m+n=3$，$f(m+n)=f(3)={\log }_{3}9=2$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)={\log }_3(x+6)$，令 $y={\log }_3(x+6)$，则 $x=3^y-6$，所以 $f^{-1}(x)=3^x-6$。 因此 $f^{-1}(m)+6=3^m$，$f^{-1}(n)+6=3^n$，题设给出 $3^m\cdot 3^n=3^{m+n}=27=3^3$， 从而 $m+n=3$。所以 $f(m+n)=f(3)={\log }_3(3+6)={\log }_{3}9=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数求值

核心方法：反解指对互换

避坑指南：$f^{-1}(x)=3^x-6$，条件即 $3^m\cdot 3^n=27\Rightarrow m+n=3$，$f(3)={\log }_{3}9=2$；反函数代入别反方向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自反函数与指数对数互化，复合求值题

结论推广: $f^{-1}(m)+6=3^m$ 的整体代换推广到对数反函数结构

方法推广: 反解后 $+6$ 恰好凑成幂，识别整体结构

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2008-四川文-02 单-对数型反函数