2006-山东文-18 解-三角降幂周期求和

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。核心在于降幂定周期分组求和。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=A{\sin }^2(\omega x+\phi )$（$A>0$，$\omega >0$，$0<\phi <\frac{\pi }{2}$），且 $y=f(x)$ 的最大值为 $2$，其图象相邻两对称轴间的距离为 $2$，并过点 $(1,2)$。 （1）求 $\phi$； （2）计算 $f(1)+f(2)+\cdots +f(2008)$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 最大值 $2$ 给 $A=2$；${\sin }^2$ 型相邻对称轴间距 $\frac{\pi }{2\omega }=2$，得 $\omega =\frac{\pi }{4}$。
2. 过 $(1,2)$：$2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\phi \right)=2\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{4}+\phi \right)=\pm 1$；由 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$ 知 $\frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}$，$\phi =\frac{\pi }{4}$。
3. $f(n)=2{\sin }^2\left(\frac{n\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)$：$f(1)=2,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1$，周期 $4$；$2008=4\times 502$，和 $=502\times (2+1+0+1)=2008$。

✅【答案】

Success

(1)$\phi =\frac{\pi }{4}$

(2)$2008$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由函数的最大值为 $2$，得 $A=2$。 函数 $y=2{\sin }^2(\omega x+\phi )$ 的相邻对称轴对应的自变量之差为 $\frac{\pi }{2\omega }$，因此 $\frac{\pi }{2\omega }=2$，解得 $\omega =\frac{\pi }{4}$。 又因为图象过点 $(1,2)$，所以 $f(1)=2$，即 $2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\phi \right)=2$。 由于 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，有 $\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4}+\phi <\frac{3\pi }{4}$，故只能取 $\frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}$，从而 $\phi =\frac{\pi }{4}$。

（2）由上可得 $f(n)=2{\sin }^2\left(\frac{n\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)$。 因此 $f(1)=2$，$f(2)=1$，$f(3)=0$，$f(4)=1$，并且 $f(n+4)=f(n)$。 因为 $2008=4\times 502$，所以 $f(1)+f(2)+\cdots +f(2008)=502\times (2+1+0+1)=2008$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角降幂周期求和

核心方法：降幂定周期分组求和

避坑指南：$f(n)=2{\sin }^2(\frac{n\pi }{4}+\frac{\pi }{4})$：$f(1)=2,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1$ 周期 $4$；$2008=4\times 502$，和 $=502\times 4=2008$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自 ${\sin }^2$ 型降幂与周期求和，三角综合题

结论推广: 降幂定周期分组求和推广到大脚标求和

方法推广: ${\sin }^2$ 的周期是 $\pi$，整体角 $\frac{n\pi }{4}$ 使 $f$ 周期 $4$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-15 解-三角降幂与值域
• 2008-广东文-05 单-三角降幂判奇偶周期