2006-天津文-15 填-基本不等式求最值

本题导读

本题考查基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 某公司一年购买某种货物 $400$ 吨，每次都购买 $x$ 吨，运费为 $4$ 万元/次，一年的总存储费用为 $4x$ 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 $x=$____吨。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 一年购买次数 $\frac{400}{x}$，总运费 $4\cdot \frac{400}{x}=\frac{1600}{x}$。
2. 总费用 $y=\frac{1600}{x}+4x⩾2\sqrt{\frac{1600}{x}\cdot 4x}=2\sqrt{6400}=160$。
3. 取等条件 $\frac{1600}{x}=4x\Rightarrow x^2=400\Rightarrow x=20$。

✅【答案】

Success

$20$

✍【详细解析】

Abstract

一年购买次数为 $\frac{400}{x}$ 次，总运费为 $4\cdot \frac{400}{x}=\frac{1600}{x}$ 万元，总存储费用为 $4x$ 万元。 总费用 $y=\frac{1600}{x}+4x$（$x>0$）。 由基本不等式 $y⩾2\sqrt{\frac{1600}{x}\cdot 4x}=2\sqrt{6400}=160$。 当且仅当 $\frac{1600}{x}=4x$，即 $x^2=400$、$x=20$ 时取等号。 故 $x=20$ 吨时总费用最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求最值

核心方法：列总费用函数，基本不等式求最值并验证取等

避坑指南：总费用 $\frac{1600}{x}+4x$，取等条件 $\frac{1600}{x}=4x$ 得 $x=20$；别忘验证 $x>0$ 且取等可达

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 基本不等式求最值是函数最值模块的经典应用。

结论推广: $$\begin{gathered} dfracax+bx \\ geqslant2 \\ sqrtab \end{gathered}$$（$a,b>0$），当 $dfracax=bx$ 时取等。

方法推广: 先列出总费用关于 $x$ 的表达式，再用均值不等式，取等条件回代验证 $x$ 的合理性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值
• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值