2006-四川文-08 单-阿氏圆轨迹面积

本题导读

本题考查轨迹方程，以及圆。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 已知两定点 $A(-2,0)$、$B(1,0)$，如果动点 $P$ 满足 $|PA|=2|PB|$，则点 $P$ 的轨迹所包围的图形的面积等于()

A. $9\pi$　　　　　　　　B. $8\pi$　　　　　　　　C. $4\pi$　　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

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1. 设 $P(x,y)$，$|PA|=2|PB|$ 平方：$(x+2{)}^2+y^2=4[(x-1{)}^2+y^2]$。
2. 展开：$x^2+4x+4+y^2=4x^2-8x+4+4y^2$。
3. 移项：$3x^2-12x+3y^2=0$，即 $x^2-4x+y^2=0$，配成 $(x-2{)}^2+y^2=4$。
4. 圆心 $(2,0)$、半径 $2$，面积 $\pi \cdot 2^2=4\pi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(x,y)$，由 $|PA|=2|PB|$，平方得 $(x+2{)}^2+y^2=4[(x-1{)}^2+y^2].$ 展开整理： $x^2+4x+4+y^2=4x^2-8x+4+4y^2\Rightarrow 3x^2-12x+3y^2=0,$ 即 $(x-2{)}^2+y^2=4$． 这是圆心 $(2,0)$、半径 $2$ 的圆（阿波罗尼斯圆），所围面积 $S=\pi \cdot 2^2=4\pi$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：阿氏圆轨迹面积

核心方法：设 $P(x,y)$，由 $|PA|=2|PB|$ 平方得 $(x+2{)}^2+y^2=4[(x-1{)}^2+y^2]$，化简为圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$，面积 $4\pi$

避坑指南：轨迹是阿氏圆（圆），非椭圆；圆心 $(2,0)$ 半径 $2$，面积 $\pi r^2=4\pi$ 而非 $8\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 到两定点距离之比为定值的轨迹是阿波罗尼斯圆

结论推广: $|PA|=2|PB|$ 的轨迹是圆（非椭圆）

方法推广: 平方消根号配完全平方得圆方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-21 解-轨迹方程与焦点三角形
• 2012-辽宁卷文-20 解-椭圆动圆与轨迹
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线
• 2010-北京文-14 填-正方形滚动周期与面积