2003-北京卷理-07 单-圆台的几何特征

本题导读

本题考查圆台的侧面积与轴截面面积的比例计算。核心意图在于测试学生对圆台空间结构（母线、高与上下底面半径差构成的直角三角形）的理解，通过引入适当的几何基本量进行代数参数化表征，最终在比值运算中实现参数消除。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 7. 如果圆台的母线与底面成 $60^{\circ }$ 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比值为()

A. $2\pi$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}\pi$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量参数化：设圆台的上底面半径为 $r$，下底面半径为 $R$，母线长为 $l$，高为 $h$。
2. 构建直角三角形关系：做圆台上底面圆心和边缘向下的两条垂线。根据圆台的几何性质，母线 $l$、高 $h$ 以及下底面与上底面半径之差 $(R-r)$ 恰好构成一个直角三角形。
3. 结合夹角转化参数：已知母线与底面成 $60^{\circ }$ 角，在该直角三角形中利用锐角三角函数性质，将高 $h$ 和半径差 $(R-r)$ 统一用母线长 $l$ 表示出来。
4. 面积公式展开并求比值：

   • 圆台侧面积公式为： $S_{\text{侧}}=\pi (r+R)l$。

   • 圆台的轴截面是一个等腰梯形，其上底为 $2r$，下底为 $2R$，高为 $h$，面积公式为： $S_{\text{轴}}=\frac{1}{2}(2r+2R)h=(r+R)h$。

   • 将两面积表达式相比，约去共有因式 $(r+R)$，代入几何量比值即可求出最终常数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：定义几何基本量并建立空间关联 设圆台的上底面半径为 $r$，下底面半径为 $R$，母线长为 $l$，高为 $h$。 过圆台上底面边缘一点向下底面作垂线，垂足与下底面对应边缘点、母线构成直角三角形。在该直角三角形中：

• 直角三角形的斜边为母线长 $l$；
• 垂直边为圆台的高 $h$；
• 水平直角边为上下底面半径之差，即 $R-r$。

第二步：利用 $60^{\circ }$ 夹角进行参数代换 已知母线与底面成 $60^{\circ }$ 角，根据直角三角形的锐角三角函数关系：

• 高 $h=l\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}l$
• 半径差 $R-r=l\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}l$

第三步：分别写出侧面积与轴截面面积的代数式

• 圆台的侧面积公式为： $S_{\text{侧}}=\pi (r+R)l\text{(1)}$
• 圆台的轴截面是一个等腰梯形，该梯形的上底长为 $2r$，下底长为 $2R$，高为圆台的高 $h$。根据梯形面积公式： $S_{\text{轴}}=\frac{(2r+2R)\cdot h}{2}=(r+R)h\text{(2)}$

第四步：作比化简求解 将 ① 式与 ② 式相除，计算侧面积与轴截面面积的比值： $\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{轴}}}=\frac{\pi (r+R)l}{(r+R)h}=\frac{\pi l}{h}$ 将前面求得的 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$ 代入上式中，消去母线长 $l$： $\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{轴}}}=\frac{\pi l}{\frac{\sqrt{3}}{2}l}=\frac{\pi }{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\pi =\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆台核心截面直角三角形的解算（母线、高、半径差）；圆台侧面积与等腰梯形轴截面面积公式的熟练套用。
2. 核心方法：基本量参数化法。
3. 避坑指南：

   • 轴截面上下底公式漏倍数陷阱：部分学生在计算轴截面面积时，容易想当然地把等腰梯形的上底和下底错写成半径 $r$ 和 $R$。牢记：圆台的轴截面通过圆心，底边对应的是底面圆的直径，因此上底是 $2r$，下底是 $2R$。虽然本题在做比值时常数 2 最终被约去不影响结果，但步骤不严谨会在解答题中导致失分。

   • 多变量无从下手陷阱：本题给出的已知数据极少（只有一个角度），很多学生面对 $r,R,l,h$ 众多变量会产生畏难情绪。处理旋转体几何比值问题时，大胆设出基本量，通过已知角度建立局部关联，在最终作比时齐次项和未知元必然会自动消除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于空间立体几何板块中经典的旋转体截面度量问题。其高等数学背景源于微元法下的第一类曲面积分与平面投影面积的微分关系（Surface Integral and Projection）。圆台侧面是一个可展曲面，其侧面积本质上是弧长元素对中心轴旋转一周的线积分，而轴截面则是该旋转体在通过对称轴的平面上的正交特征射影，两者的比值由倾斜角（母线与底面夹角）的几何投影率唯一锁定。

2. 结论推广: 【通用圆台面积比值定理】 对于任意一个上底半径为 $r$、下底半径为 $R$、母线与底面所成角为 $\theta (\theta \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 的圆台：

• 其高恒满足 $h=l\cdot \sin \theta$；
• 侧面积与轴截面面积的比例函数 $f(\theta )$ 完全独立于上下底面半径 $r,R$ 的具体数值变动，仅由夹角 $\theta$ 的正弦值唯一决定： $\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{轴}}}=\frac{\pi }{\sin \theta }$
• 大招应用：本题中 $\theta =60^{\circ }$，直接套用推广定理秒杀： $\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{轴}}}=\frac{\pi }{\sin 60^{\circ }}=\frac{\pi }{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ 利用此定理，无论是圆台还是退化后的圆锥（ $r=0$ ），只要已知母线夹角，求两面积之比均可实现瞬时秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-08 单-阿氏圆轨迹面积
• 1977-内蒙古文-02 解-梯形与圆台
• 1977-内蒙古理-02 解-梯形与圆台面积