2001-大纲理-13 填-圆锥的几何性质

本题导读

本题考查圆锥的几何性质，以及圆锥的侧面积公式。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 $\sqrt{3}$，则这个圆锥的侧面积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用轴截面建立几何关联：圆锥的轴截面是一个通过圆锥轴线的截面，其形状为等腰三角形，底边长等于圆锥底面直径 $2r$，两腰等于圆锥的母线长 $l$。
2. 通过面积求基本量：已知轴截面为等边三角形，即满足 $2r=l$。利用等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{边长}{)}^2=\sqrt{3}$，解出边长（即母线长 $l$）以及底面半径 $r$。
3. 计算侧面积：将求得的 $r$ 和 $l$ 代入圆锥侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$ 得到最终结果。

✅【答案】

Success

$2\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由轴截面面积求基本几何量 设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$。 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以该三角形的边长为圆锥的底面直径，即边长为 $2r$，且母线长满足： $l=2r$

根据等边三角形的面积公式，轴截面的面积为： $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (\text{边长}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (2r{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4r^2=\sqrt{3}{r}^2$

已知轴截面面积为 $\sqrt{3}$，代入上式： $\sqrt{3}{r}^2=\sqrt{3}⟹r^2=1$ 因为半径 $r>0$，所以： $r=1$ 从而求得母线长： $l=2r=2$

计算圆锥的侧面积 将 $r=1,l=2$ 代入圆锥侧面积计算公式： $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \times 1\times 2=2\pi$

$2\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥轴截面各元素（底面直径、高、母线）构成的空间三角形模型；圆锥侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$。
2. 核心方法：几何元素代数方程化。
3. 避坑指南：

• 文字印刷印刷缺陷陷阱：本题历史原卷中由于汉字“圆锥”与“椭圆”的字模在特定字面排版中产生模糊，导致印刷呈现为“椭圆”。在解题时需注意，椭圆属于二维平面曲线，不具有“轴截面”和“侧面积”等三维旋转体的几何属性，应根据几何术语准确判定其本质为圆锥。
• 边长与半径混淆陷阱：在利用等边三角形面积公式计算时，求出的边长是 $2r=2$，部分学生容易直接将边长 2 当作半径 $r$ 代入侧面积公式，导致算出 $4\pi$ 的错误结果。必须理清“边长 = 直径 = $2r$”的几何对应关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间旋转体基本度量算理的基础填空题，取材于高中立体几何教材“立体几何初步”章节中关于旋转体表面积计算的课后基础训练题。
2. 结论推广： 本题可推广至通用等边圆锥（即轴截面为等边三角形的圆锥，亦称正圆锥极限体）的几何结构不变量模型： 对于任意轴截面为等边三角形的圆锥，其侧面积 $S_{\text{侧}}$、底面积 $S_{\text{底}}$ 与轴截面面积 $S_{\text{轴}}$ 之间恒满足如下固定代数比例： $S_{\text{底}}=\pi r^2,S_{\text{侧}}=2\pi r^2⟹S_{\text{侧}}=2S_{\text{底}}$ $S_{\text{轴}}=\sqrt{3}{r}^2⟹S_{\text{侧}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}{S}_{\text{轴}}=\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}{S}_{\text{轴}}$ 代入本题参数 $S_{\text{轴}}=\sqrt{3}$： $S_{\text{侧}}=\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}\times \sqrt{3}=2\pi$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1958-河北-04 解-圆锥平行截面的侧面积
• 1988-上海-05 填-圆锥的轴截面
• 2006-四川文-08 单-阿氏圆轨迹面积