2006-北京文-16 解-导数图象与极值定参

本题导读

本题考查导数的图象。核心在于导数图象定驻点。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ 在点 $x_0$ 处取得极大值 $5$，其导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象经过点 $(1,0)$，$(2,0)$，如图所示．求： （1）$x_0$ 的值； （2）$a,b,c$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由导函数图象：$x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$1<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$x>2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。
2. 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 增、$(1,2)$ 减，极大值点 $x_0=1$。
3. 由 $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(2)=0$ 与 $f(1)=5$ 列三个方程解 $a,b,c$。

✅【答案】

Success

(1)$x_0=1$

(2)$a=2$，$b=-9$，$c=12$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象：$x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；$1<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；$x>2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$． 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 上递增，在 $(1,2)$ 上递减，在 $(2,+\infty )$ 上递增． 所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，即 $x_0=1$． （2）$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，由图象过 $(1,0)$，$(2,0)$ 得 $f^{\prime }(1)=3a+2b+c=0$，$f^{\prime }(2)=12a+4b+c=0$． 又 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值 $5$，即 $f(1)=a+b+c=5$． 三式联立： $\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 12a+4b+c=0\\ a+b+c=5\end{array}$ 由前两式相减得 $9a+2b=0$，即 $b=-\frac{9}{2}a$； 代入第一式得 $3a-9a+c=0$，即 $c=6a$； 代入第三式得 $a-\frac{9}{2}a+6a=5$，即 $\frac{5}{2}a=5$，$a=2$． 故 $a=2$，$b=-9$，$c=12$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数图象与极值定参

核心方法：导数图象定驻点，极值两侧变号，待定系数解参

避坑指南：导函数图象过 $(1,0),(2,0)$ 得 $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(2)=0$，$x_0=1$（极大值点）；再由 $f(1)=5$ 与两零点联立解 $a,b,c$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 导数图象信息与极值，导数应用综合题

结论推广: 导函数零点是驻点，极大值点两侧导数变号（正到负）；结合函数值列方程组定参

方法推广: 由导函数图象读单调性：图象在 $x$ 轴上方为增、下方为减

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2008-福建文-11 单-导数图象判定
• 2009-湖南卷文-07 单-导数图象凹凸
• 2009-北京文-18 解-导数切线与极值