2006-全国卷II理-07 单-空间直角三角形及勾股定理

本题导读

本题考查面面垂直背景下的线面角计算以及空间线段比例的求解。核心在于通过线面垂直性质建立空间直角三角系统，将各空间段长统一至同一基准上完成求比。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 如图，平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$， $A\in \alpha$， $B\in \beta$， $AB$ 与两平面 $\alpha ,\beta$ 所成的角分别为 $\frac{\pi }{4}$ 和 $\frac{\pi }{6}$. 过 $A,B$ 分别作两平面交线的垂线，垂足为 $A^{\prime },B^{\prime }$，则 $AB:A^{\prime }{B}^{\prime }=$() ()

A. $2:1$　　　　　B. $3:1$　　　　　C. $3:2$　　　　　D. $4:3$

🔍【思路分析】

破题导航

设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的交线为 $l$，则 $A^{\prime }\in l,B^{\prime }\in l$。 由 $\alpha \perp \beta$ 且 $A{A}^{\prime }\perp l⟹A{A}^{\prime }\perp$ 平面 $\beta$，故 $A^{\prime }$ 为 $A$ 在平面 $\beta$ 上的射影。从而 $\angle AB{A}^{\prime }$ 即为 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角， $\angle AB{A}^{\prime }=\frac{\pi }{6}$。 同理， $B{B}^{\prime }\perp l⟹B{B}^{\prime }\perp$ 平面 $\alpha$， $B^{\prime }$ 为 $B$ 在平面 $\alpha$ 上的射影。从而 $\angle BA{B}^{\prime }$ 即为 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角， $\angle BA{B}^{\prime }=\frac{\pi }{4}$。 设斜线长 $AB=2m$，通过直角三角形分别算出高 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{B}^{\prime }$ 的值。 在底面平面内利用矩形或直角三角形勾股定理将 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 与 $AB$ 建立关联。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的交线为直线 $l$。 由题意， $A{A}^{\prime }\subset \alpha$，且 $A{A}^{\prime }\perp l$。 因为平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，根据面面垂直的性质定理，可得： $A{A}^{\prime }\perp \text{平面 }\beta$ 由此可知，点 $A^{\prime }$ 是点 $A$ 在平面 $\beta$ 内的垂直射影。 连接 $A^{\prime }B$，则 $\angle AB{A}^{\prime }$ 就是直线 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角。 由题意得： $\angle AB{A}^{\prime }=\frac{\pi }{6}$

同理，因为 $B{B}^{\prime }\subset \beta$ 且 $B{B}^{\prime }\perp l$，由面面垂直的性质定理可得： $B{B}^{\prime }\perp \text{平面 }\alpha$ 故点 $B^{\prime }$ 是点 $B$ 在平面 $\alpha$ 内的垂直射影。 连接 $A{B}^{\prime }$，则 $\angle BA{B}^{\prime }$ 就是直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角。 由题意得： $\angle BA{B}^{\prime }=\frac{\pi }{4}$

为了便于比例计算，使用几何常量设值法，设斜线段长为： $AB=2m(m>0)$

1. 在直角三角形 $△A{A}^{\prime }B$ 中， $\angle A{A}^{\prime }B=90^{\circ }$， $\angle AB{A}^{\prime }=\frac{\pi }{6}$： $A{A}^{\prime }=AB\cdot \sin \frac{\pi }{6}=2m\times \frac{1}{2}=m$ $A^{\prime }B=AB\cdot \cos \frac{\pi }{6}=2m\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}m$

2. 在直角三角形 $△A{B}^{\prime }B$ 中， $\angle A{B}^{\prime }B=90^{\circ }$， $\angle BA{B}^{\prime }=\frac{\pi }{4}$： $B{B}^{\prime }=AB\cdot \sin \frac{\pi }{4}=2m\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}m$

由于 $A{A}^{\prime }\perp$ 平面 $\beta$，且 $l\subset$ 平面 $\beta$，所以 $A{A}^{\prime }\perp l⟹A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$。 同时，在平面 $\beta$ 内，因为 $B{B}^{\prime }\perp l,A^{\prime }{B}^{\prime }\subset l$，所以直角三角形 $△A^{\prime }{B}^{\prime }B$ 中 $\angle A^{\prime }{B}^{\prime }B=90^{\circ }$。 考查直角三角形 $△A^{\prime }{B}^{\prime }B$，运用勾股定理： $A^{\prime }{B}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}$ 将前面算得的线段长代入上式中： $(\sqrt{3}m{)}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}+(\sqrt{2}m{)}^2$ $3m^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}+2m^2⟹A^{\prime }{B}^{\prime 2}=m^2$ 因为长度为正，解得： $A^{\prime }{B}^{\prime }=m$

现在计算目标线段的比值： $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2m}{m}=\frac{2}{1}⟹AB:A^{\prime }{B}^{\prime }=2:1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：面面垂直的性质定理（面面垂直则线垂交线则线垂面）、线面角在直角三角形中的锁定、空间多重勾股定理。
• 核心方法：几何量设值消元法。
• 避坑指南：
• 本题图形极具立体感，一定要分清两组相互垂直的直角三角形： $△A{A}^{\prime }B$ 中直角在 $A^{\prime }$ 处， $△A{B}^{\prime }B$ 中直角在 $B^{\prime }$ 处。
• 在交线 $l$ 上，由于 $B{B}^{\prime }\perp l$，由平面内的定义可知 $△A^{\prime }{B}^{\prime }B$ 是以 $B^{\prime }$ 为直角的直角三角形，即斜边为 $A^{\prime }B$。切勿把直角看错导致勾股定理公式列反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中考查空间线面垂直关系与距离、角度转化的压轴选择题，侧重考查对三维空间垂直网格的解构能力。 结论推广: 对于两垂直平面 $\alpha \perp \beta$，若斜线段 $AB$ 与平面 $\alpha ,\beta$ 所成的角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$，其在交线上的投影长度为 $d$，则根据空间三余弦或勾股定理投影关系，恒有关系式 ${\cos }^2{\theta }_1+{\cos }^2{\theta }_2-{\left(\frac{d}{AB}\right)}^2=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-07 单-空间直角坐标系方向向量
• 2008-四川文-08 单-球截面圆面积比