2006-全国卷II文-08 单-对数函数求反函数

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数与指数函数。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知函数 $f(x)=\ln x+1$（$x>0$），则 $f(x)$ 的反函数为()

A. $y=e^{x+1}$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=e^{x-1}$（$x\in \mathbf{R}$）

C. $y=e^{x+1}$（$x>1$）　　　　　　　　　　　　　　D. $y=e^{x-1}$（$x>1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=\ln x+1$ 反解 $\ln x=y-1$。
2. $x=e^{y-1}$。
3. 交换 $x,y$ 得反函数 $y=e^{x-1}$，定义域为 $\mathbf{R}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\ln x+1$（$x>0$），得 $\ln x=y-1$，故 $x=e^{y-1}$． 交换 $x,y$，得反函数 $y=e^{x-1}$，其中 $x\in \mathbf{R}$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数求反函数

核心方法：$y=\ln x+1\Rightarrow \ln x=y-1\Rightarrow x=e^{y-1}$，故反函数 $y=e^{x-1}$（$x\in \mathbf{R}$）

避坑指南：反解时把 $x$ 解出写成 $y$ 的函数再交换 $x,y$；对数函数反函数定义域是 $\mathbf{R}$，别误写 $x>1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 对数函数反函数的求解，基本题

结论推广: 反解 $x$ 关于 $y$ 的表达式再交换 $x,y$

方法推广: 求反函数三步：反解、交换、标定义域；指数与对数互为反函数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2008-四川文-02 单-对数型反函数
• 2009-大纲Ⅰ文-06 单-反函数求值