2005-重庆卷文-10 单-塔形正方体表面积递推

本题导读

本题考查塔形正方体堆叠的表面积与不等式估算。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是()

A. $4$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 上层正方体下底面是下层上底面各边中点连线（内接正方形），棱长比为 $1:\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 棱长依次 $2,\sqrt{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},\cdots$，$a_k^2=4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$。
3. 每层暴露面 $=$ 侧面 $+$ 上底暴露环，顶层上底全暴露，合计上底暴露恰为 $a_1^2$；累加求 $S_n$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

上、下层棱长比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}:1$，各层棱长 $a_k=2{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{k-1}$，$a_k^2=4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$．每层暴露的表面积 $=$ 侧面 $4a_k^2+$ 本层上底面未被上层覆盖的环形部分 $\left(a_k^2-a_{k+1}^2\right)$；顶层上底面全暴露 $a_n^2$；底层另加下底面 $a_1^2$．上底暴露部分合计 ${\sum }_{k=1}^{n-1}\left(a_k^2-a_{k+1}^2\right)+a_n^2=a_1^2$．故 $n$ 层总表面积 $S_n=a_1^2+4{\sum }_{k=1}^n{a}_k^2+a_1^2=8+16{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}=8+32\left(1-2^{-n}\right)=40-2^{5-n}$．$S_5=40-1=39$（不超过 39），$S_6=40-\frac{1}{2}=39.5>39$．故正方体个数至少为 6，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：塔形正方体表面积递推

核心方法：棱长依次 $2,1,\frac{1}{2},\cdots$，表面积 $2\cdot 6\cdot 4^k$ 递推求和超 39 至少 6 个

避坑指南：上层正方体顶点在下层上底面中点连线（内接 $45^{\circ }$ 旋转）——棱长减半？不是：棱长比为 $\sqrt{2}:1$，即 $2,\sqrt{2},1,\cdots$；表面积含侧面积与底面，逐层累加

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 数列应用

结论推广：棱长 $2,\sqrt{2},1,\cdots$（公比 $\frac{\sqrt{2}}{2}$），逐层表面积和超 39 需 6 个

方法推广：“上层顶点在下层上底各边中点”即内接正方形，棱长比 $1:\frac{\sqrt{2}}{2}$；表面积含侧+底累加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-12 填-正方体切拼表面积
• 2005-上海卷文-12 填-棱柱拼接与表面积
• 2014-辽宁卷理-07 单-几何体的表面积与体积计算