2005-福建卷文-18 解-独立重复试验与期望

本题导读

本题考查相互独立事件的概率与离散型随机变量的期望。核心在于期望的线性性质与对立事件概率。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $\frac{2}{5}$，投中得 1 分，投不中得 0 分．

(1) 甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和 $\xi$ 的数学期望；

(2) 甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $E(\xi )=E(X)+E(Y)$（期望线性）。
2. (2) 用对立事件：四次全不中。
3. 各次独立概率相乘。

✅【答案】

Success

（1）设甲、乙各投一次所得分数分别为X，Y.则E(X)=1⋅\dfrac{1}{2}+0⋅\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}，

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设甲、乙各投一次所得分数分别为 $X$，$Y$，则 $E(X)=1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$E(Y)=1\times \frac{2}{5}+0\times \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$．由 $\xi =X+Y$ 及期望的线性性质，$E(\xi )=E(X)+E(Y)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}$． (2) 各次投球相互独立，四次投球均未命中的概率为 ${\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2{\left(1-\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{1}{4}\times \frac{9}{25}=\frac{9}{100}$，所以至少一次命中的概率为 $1-\frac{9}{100}=\frac{91}{100}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与期望

核心方法：期望的线性性质 $E(\xi )=E(X)+E(Y)$；对立事件求”至少一次”

避坑指南：“至少一次”用 $1-P(\text{全不中})$，全不中是 4 次各自不中概率相乘；直接分类列举”恰 $k$ 次命中”容易漏项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 概率

结论推广：独立事件积事件概率相乘；$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 与独立与否无关

方法推广：“至少”型概率优先对立事件；期望若能分解为若干变量之和，直接用线性性质免列分布列

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

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