2005-浙江卷文-14 填-排列组合至多至少计数

本题导读

本题考查分步计数原理，以及”至多”类计数的正难则反策略。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 从集合 $\{P,Q,R,S\}$ 与 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中各任取 $2$ 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母 $Q$ 和数字 $0$ 至多只能出现一个的不同排法种数是$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数：${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_{10}^2\cdot 4!$。
2. $Q$ 与 $0$ 同时出现的排法：${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_9^1\cdot 4!$。
3. 作差。

✅【答案】

Success

$5832$

✍【详细解析】

Abstract

不加限制的总排法数为 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_{10}^2\cdot 4!=6\times 45\times 24=6480$． 其中 $Q$ 与 $0$ 同时出现的排法：字母必取 $Q$，再从其余 $3$ 个字母中取 $1$ 个，数字必取 $0$，再从其余 $9$ 个数字中取 $1$ 个，全排列 $4!$，共 ${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_9^1\cdot 4!=3\times 9\times 24=648$ 种． 故 $Q$ 和 $0$ 至多出现一个的排法种数为 $6480-648=5832$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合至多至少计数

核心方法：正难则反：总数减去 $Q$ 与 $0$ 同时出现的排法

避坑指南：总数 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_{10}^2\cdot 4!=6480$，都出现 ${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_9^1\cdot 4!=648$，相减得 5832；直接分类易漏”只出现其一”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 计数原理

结论推广：“至多一个”类计数优先用正难则反：总数减去全出现的排法

方法推广：分步计数中”各取各的再全排列”结构：${\mathrm{C}}_m^k{\mathrm{C}}_n^l\cdot N!$ 是通式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-14 填-分组计数
• 2008-大纲Ⅱ文-14 填-男女选人组合计数
• 1990-全国卷理-14 单-组合计数