2005-浙江卷文-13 填-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的通径，以及直径所对圆周角为直角的垂直条件转化。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线相交于 $M$、$N$ 两点，以 $MN$ 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通径端点 $M(-c,\frac{b^2}{a})$，右顶点 $A_2(a,0)$。
2. $\angle M{A}_{2}N=90^{\circ }⟺$ 斜率积为 $-1$。
3. 代入 $b^2=c^2-a^2$ 解 $e$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

通径端点 $M(-c,\frac{b^2}{a})$、$N(-c,-\frac{b^2}{a})$，右顶点 $A_2(a,0)$．由 $MN$ 为直径的圆过 $A_2$ 得 $\angle M{A}_{2}N=90^{\circ }$，即 $A_{2}M\perp A_{2}N$，斜率积为 $-1$： $\frac{\frac{b^2}{a}}{-(a+c)}\cdot \frac{-\frac{b^2}{a}}{-(a+c)}=-1\Rightarrow \frac{b^4}{a^2(a+c{)}^2}=1\Rightarrow \frac{b^2}{a}=a+c.$ 代入 $b^2=c^2-a^2$ 得 $c^2-a^2=a^2+ac$，即 $c^2-ac-2a^2=0$，两边除以 $a^2$ 得 $e^2-e-2=0$，解得 $e=2$（负根舍去）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：通径端点与右顶点连线的垂直关系

避坑指南：以 $MN$ 为直径的圆过右顶点 $⟺\angle M{A}_{2}N=90^{\circ }$，用斜率积为 $-1$（或向量点积为零）列式，代入 $b^2=c^2-a^2$ 化为 $e^2-e-2=0$，得 $e=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线与方程

结论推广：通径端点、顶点与焦点构造的直角三角形是求离心率的常见载体

方法推广：离心率问题本质是找 $a,c$ 的齐次方程，几何条件翻译成 $\frac{b^2}{a}$ 的关系式是关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-13 单-双曲线的离心率
• 2020-新课标II文-19 解-圆锥曲线综合
• 2018-全国卷II理-19 解-抛物线焦点弦