2005-山东卷文-03 单-反函数的图象

本题导读

本题考查反函数的求法，以及反函数图象的识别。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 函数 $y=\frac{1-x}{x}$（$x\ne 0$）的反函数图象大致是() （四个选项图象见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=\frac{1-x}{x}$ 解得 $x=\frac{1}{y+1}$。
2. 反函数 $y=\frac{1}{x+1}$（$x\ne -1$）。
3. 双曲线中心 $(-1,0)$，对图象选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{1-x}{x}$ 得 $x(y+1)=1$，所以反函数为 $y=\frac{1}{x+1}$，其定义域为 $x\ne -1$．该双曲线的中心为 $(-1,0)$，且当 $x>-1$ 时 $y>0$，当 $x<-1$ 时 $y<0$．因此图象与选项 B 相符，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的图象

核心方法：解出反函数 $y=\frac{1}{x+1}$ 对图象

避坑指南：反函数定义域 $x\ne -1$ 是原函数值域；中心平移方向别弄反——$y=\frac{1}{x+1}$ 中心在 $(-1,0)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 反函数

结论推广：$y=\frac{1-x}{x}$ 的反函数为 $y=\frac{1}{x+1}(x\ne -1)$，双曲线中心 $(-1,0)$

方法推广：反函数图象问题走”解出反函数解析式再对图象”的路线，中心与渐近线是识别要素

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅱ文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2005-全国卷II理-03 单-反函数的概念与求法
• 1999-全国卷理-03 单-反函数值的求法