2005-全国卷II理-03 单-反函数的概念与求法

本题导读

本题核心考查反函数的求解方法。解题的关键在于通过原函数的自变量范围确定其值域（即反函数的定义域），并通过代数变形反解出因变量，注意开方时符号的选取。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 函数 $y=\sqrt[3]{x^2}-1$ ($x\le 0$) 的反函数是()

A. $y=\sqrt{(x+1{)}^3}$ ($x\ge -1$)　　　　　　　　　B. $y=-\sqrt{(x+1{)}^3}$ ($x\ge -1$)

C. $y=\sqrt{(x+1{)}^3}$ ($x\ge 0$)　　　　　　　　　　D. $y=-\sqrt{(x+1{)}^3}$ ($x\ge 0$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据原函数的自变量范围 $x\le 0$ 求出原函数的值域，该值域即为反函数的定义域。
2. 从原函数解析式中反解出 $x$，结合 $x\le 0$ 确定开方后的正负号。
3. 互换 $x,y$ 得到反函数的解析式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x\le 0$，所以 $x^2\ge 0$，从而 $\sqrt[3]{x^2}\ge 0$。 故原函数的值域为 $y\ge -1$，即反函数的定义域为 $x\ge -1$。（由此排除 C, D 选项）

由原函数解析式 $y=\sqrt[3]{x^2}-1$ 变形得： $\sqrt[3]{x^2}=y+1$

两边同时立方得： $x^2=(y+1{)}^3$

因为 $x\le 0$，所以对上式两边开平方时应取负根： $x=-\sqrt{(y+1{)}^3}$

将 $x$ 与 $y$ 互换位置，得到反函数为： $y=-\sqrt{(x+1{)}^3}(x\ge -1)$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求解步骤（求值域定定义域、反解x、x-y互换）。
2. 核心方法：范围控制法。利用原函数的定义域控制值域，利用原函数的定义域决定开方正负号。
3. 避坑指南：

• 极易忽略原函数 $x\le 0$ 的限制，在对 $x^2=(y+1{)}^3$ 开方时盲目开出正根而错选 A。
• 忘记求解原函数的值域，从而无法对反函数的定义域做出正确判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中反函数基本概念章节的拓展提高题，旨在深化对“反函数的定义域是原函数的值域”以及“映射双向一一对应”这两个核心概念的理解。
2. 结论推广：对于形如 $y=\sqrt[2m+1]{x^{2n}}+a$ ($x\le 0,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 的函数，其反函数的一般化通用形式为 $y=-\sqrt[2n]{(x-a{)}^{2m+1}}$，定义域为 $x\ge a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)