2002-上海卷理-12 填-反函数的定义与性质

本题导读

本题考查原函数与反函数之间的逻辑等价性及几何映射关系。核心意图在于测试学生对反函数本质定义（横纵坐标对调）的深刻理解，以及将原函数的代数结论（零点、不等式）精确平移转化为反函数相应性质的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 已知函数 $y=f(x)$（定义域为 $D$，值域为 $A$）有反函数 $y=f^{-1}(x)$，则方程 $f(x)=0$ 有解 $x=a$，且 $f(x)>x(x\in D)$ 的充要条件是 $y=f^{-1}(x)$ 满足 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（转化零点条件）：依据反函数的根本定义，若原函数满足 $f(a)=0$，则意味着点 $(a,0)$ 在 $y=f(x)$ 的图象上。将横纵坐标对调，可知点 $(0,a)$ 必在反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象上，即满足 $f^{-1}(0)=a$。
2. 第二步逻辑（转化不等式条件）：对于原函数的不等式 $f(x)>x$，令 $y=f(x)$，则有 $y>x$。因为原函数存在反函数，说明其在定义域上具有严格单调性。由 $f(x)>x⟺f^{-1}(f(x))?f^{-1}(x)$ 需讨论单调性，但更直观的方法是利用几何法： $y=f(x)$ 的图象完全在直线 $y=x$ 的上方。由于原函数与反函数的图象关于直线 $y=x$ 轴对称，将整个几何图形沿 $y=x$ 翻折，原图象上方的部分将映射到直线的左侧（即满足横坐标小于纵坐标，对反函数而言表现为 $f^{-1}(x)<x$）。
3. 第三步逻辑（整合定义域与值域）：将上述两个独立转化后的代数式进行合并，并注意自变量的取值范围由原函数的值域 $A$ 决定，从而得出最终充要条件。

✅【答案】

Success

$f^{-1}(0)=a$，且 $f^{-1}(x)<x(x\in A)$

✍【详细解析】

Abstract

根据原函数与反函数的对应关系，将两个已知条件分别进行等价逻辑转化：

一、转化条件“方程 $f(x)=0$ 有解 $x=a$”

1. 方程 $f(x)=0$ 有解 $x=a$，意味着： $f(a)=0$
2. 依据反函数的几何与代数定义，若 $f(a)=0$，则自变量与因变量对调后满足： $f^{-1}(0)=a$ 此时反函数的自变量 $x=0$ 属于其定义域（即原函数的值域 $A$），且 $a$ 属于其值域（即原函数的定义域 $D$）。

二、转化条件“ $f(x)>x(x\in D)$”

• 代数变形法： 设 $y=f(x)$，由于 $x\in D$，则 $y$ 属于原函数的值域 $A$。 已知不等式为： $y>x$ 根据反函数的定义，由 $y=f(x)$ 可得 $x=f^{-1}(y)$。将此代数式替换入不等式 $y>x$ 中，得到： $y>f^{-1}(y)$ 由于变元符号在习惯上通常用 $x$ 表示，将上述不等式中的自变量符号 $y$ 统一替换为 $x$，并指明其取值范围为原函数的值域 $A$，则等价对应为： $f^{-1}(x)<x(x\in A)$

• 几何直观法： 原函数满足 $f(x)>x$，在空间直角坐标系中意味着函数 $y=f(x)$ 的图象完全位于第一、三象限角平分线 $y=x$ 的上方。 因为反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象与原函数关于直线 $y=x$ 对称，将直线 $y=x$ 上方的图象关于该直线进行翻折，对称后的图形必完全位于直线 $y=x$ 的下方（或左侧，即横坐标大于纵坐标，表现为 $x>y$）。 因此，反函数的图象满足 $f^{-1}(x)<x(x\in A)$。

三、综合充要条件 将上述两部分转化后的结论进行逻辑交集整合，可得其充要条件是 $y=f^{-1}(x)$ 满足： $f^{-1}(0)=a\text{且}{f}^{-1}(x)<x(x\in A)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数映射的自变量与因变量互换本质；图象关于 $y=x$ 对称的不等式变换。
2. 核心方法：变元代换法、图象对称变换法。
3. 避坑指南：

• 定义域限制遗漏：在写出 $f^{-1}(x)<x$ 时，必须严格注明自变量的取值范围 $x\in A$（即原函数的值域）。若写为 $x\in D$ 或者是未注明范围，属于不严密的代数表达，容易被扣分。
• 不等号方向判定错误：部分学生在利用单调性强行脱去 $f$ 号时，因为没有明确原函数的单调性递增或递减，盲目认为 $f(x)>x⟹f^{-1}(f(x))>f^{-1}(x)⟹x>f^{-1}(x)$。虽然此题结论最终方向凑巧一致，但中间未讨论单调性的推导在逻辑上是错误的（若 $f(x)$ 递减，脱去符号符号需变向）。最严密且安全的做法是采用了解析法中的 $y$ 代换法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为2002年上海高考理科数学的第十二题（填空压轴题），重点考查学生对反函数抽象概念的逆向思辨能力，对逻辑推理的严密性有较高要求。
2. 结论推广： 若原函数与反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称，则原函数满足 $f(x)>x$ 等价于反函数满足 $f^{-1}(x)<x$；反之亦然。利用这一对称关系，可将关于原函数的不等式直接转换为关于反函数的不等式求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-25 单-反函数的图象
• 2005-山东卷文-03 单-反函数的图象
• 2006-广东卷-07 单-反函数图象求根