2005-天津卷文-16 填-古典概型计数

本题导读

本题考查古典概型与组合计数，核心在于正确扣除三点共线的情况后再按三边各取一点计数。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这 $9$ 个分点为顶点可画出若干个三角形．若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从 $9$ 点中任取 $3$ 点：${\mathrm{C}}_9^3=84$；同一边 $3$ 点共线不能成三角形，每边剔除 $1$ 组，共 $3$ 组。
2. 可构成三角形总数 $84-3=81$。
3. 三顶点各在不同边：每边取 $1$ 点，$3\times 3\times 3=27$。
4. 概率 $=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

$(-2,-1)\cup (1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

从 $9$ 个分点中任取 $3$ 个点时，${\mathrm{C}}_9^3$ 个组合中，同一条边上的 $3$ 个分点共线，不能构成三角形．原三角形有 $3$ 条边，因此可抽取的三角形总数为 ${\mathrm{C}}_9^3-3=84-3=81$． 若三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上，则先从三条边中各取一个分点，方法数为 $3\cdot 3\cdot 3=27$． 因此所求概率为 $\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型计数

核心方法：总组合数减共线，逐边分步计数

避坑指南：所有取法 ${\mathrm{C}}_9^3-3=81$（同边三点共线排除），三边各取一 $3^3=27$，概率 $\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$；忘记排除共线组合作分母就错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与组合计数

结论推广：总数先全组合再剔除同边共线情形，符合条件数分步乘法

方法推广：概率 $=\frac{\text{符合数}}{\text{总数}}$ 两数同源（同一抽样口径）；先算总数再算符合数，别用两次不同口径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2001-大纲理-16 填-圆周角定理
• 2020-新课标I文-04 单-排列组合