2001-大纲理-16 填-圆周角定理

本题导读

本题考查圆周角定理，以及排列组合与计数原理。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 圆周上有 $2n$ 个等分点 $(n>1)$，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结合圆的性质分析直角三角形特征：根据圆周角定理，一个圆内接三角形如果是直角三角形，它的斜边必须是该圆的直径。
2. 计算圆周上直径的总条数：圆周上有 $2n$ 个等分点，说明这是一个偶数个顶点的对称结构。任意一个等分点与其对应的相对点连线，都构成圆的一条直径。因此，总共可以构成 $n$ 条直径。
3. 分步计数确定三角形个数：

• 第一步：从这 $n$ 条直径中任选一条，作为直角三角形的斜边（确定了两个顶点）；
• 第二步：从除了这条直径的两个端点之外的其余所有等分点中任选一个点，作为直角三角形的直角顶点。

4. 利用乘法原理求总数：将两步的选择方法数相乘，即得满足条件的直角三角形总数。

✅【答案】

Success

$2n(n-1)$

✍【详细解析】

Abstract

确定斜边（直径）的选取方法数 因为圆周上有 $2n$ 个等分点，每两个相对的等分点之间的连线都经过圆心，构成圆的一条直径。 所以，这 $2n$ 个点一共可以组成直径的条数为： $\frac{2n}{2}=n\text{ 条}$ 要构成直角三角形，必须且只需选定其中的一条直径作为斜边。从 $n$ 条直径中任选一条的方法数为： ${\text{C}}_n^1=n\text{ 种}$

确定直角顶点的选取方法数 当选定了一条直径（即确定了直角三角形的两个顶点）后，圆周上还剩下： $2n-2\text{ 个等分点}$ 根据“直径所对的圆周角是直角”，剩下的这 $2n-2$ 个点中的任意一个点，与已选定直径的两个端点相连，都能构成一个直角三角形。 因此，第三个顶点（直角顶点）的选取方法数为： ${\text{C}}_{2n-2}^1=2n-2\text{ 种}$

利用分步乘法计数原理求总数 综上所述，构建直角三角形的过程分为两步完成。总的直角三角形个数为： $N=n\times (2n-2)=2n(n-1)=2n^2-2n$

$2n(n-1)$ （或 $2n^2-2n$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆内接直角三角形与直径的充要映射；分步计数原理。
2. 核心方法：斜边（直径）分类锁定法。
3. 避坑指南：

• 特殊值代入法（检验、速法）：在解决含参数 $n$ 的抽象排列组合填空题时，若对递推结构不确定，可用小整数代入验证。 令 $n=2$，此时圆周上有 $2\times 2=4$ 个等分点（即正方形的四个顶点）。从 4 个点中任取 3 个点一共有 ${\text{C}}_4^3=4$ 个三角形。因为矩形内接于圆时，任意 3 个顶点构成的都是直角三角形，所以当 $n=2$ 时答案应为 4。将 $n=2$ 代入最终公式 $2\times 2\times (2-1)=4$，完全符合，可保证结果的绝对正确。
• 重复计数陷阱：部分学生尝试直接从 $2n$ 个点中先选 3 个点构成所有三角形（共 ${\text{C}}_{2n}^3$ 个），然后再去减去锐角和钝角三角形。这种逆向思考会因为等分点在不同 $n$ 值下的特殊多边形共线性（如正六边形、正八边形）导致漏算或重复算，思维极易混乱。几何计数问题，优先寻找其核心的物理几何不变量（如直径）作为分类基准。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的几何与组合交汇的高考压轴级填空题，考查数学建模的严谨性。取材于高中排列组合教材中“组合应用题”章节关于多边形内接三角形分类计数的经典思考题。
2. 结论推广： 本题可拓展推广为圆周 $2n$ 等分点下更完备的**“多边形三角形内接分类不变量模型”**： 从 $2n$ 个等分点中任取 3 个点，共可组成 ${\text{C}}_{2n}^3=\frac{n(2n-1)(2n-2)}{3}$ 个三角形。其中：

• 直角三角形个数（即本题结论）： $N_{\text{直}}=2n(n-1)$。
• 钝角三角形个数： $N_{\text{钝}}=n(n-1)(n-2)$。
• 锐角三角形个数（利用总数减去直角和钝角）： $N_{\text{锐}}=\frac{n(n-1)(2n-2)}{3}-n(n-1)(n-2)=\frac{2n(n-1)(n-2)}{3}$。 这一完备的计数划分在离散几何、图论中完整图的子图空间分割（Subgraph Partitioning），以及现代数字图像处理中对圆形边界像素正交化颗粒度的特征离散提取算法中，提供了极其关键的组合数学理论限界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数