2004-全国卷I文-11 单-古典概型奇偶分类

本题导读

本题考查排列组合，以及古典概型的计算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 从数字 $1,2,\cdots ,9$ 中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率为()

A. $\frac{5}{9}$　　　　　　B. $\frac{4}{9}$　　　　　　C. $\frac{11}{21}$　　　　　　D. $\frac{10}{21}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇数 5 个、偶数 4 个；和为偶 $⟺$ 奇数个数为 0 或 2。
2. 三偶 ${\mathrm{C}}_4^3=4$；一偶两奇 ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_5^2=40$。
3. $P=\frac{44}{{\mathrm{C}}_9^3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

1 到 9 中奇数有 5 个，偶数有 4 个。三个数之和为偶数当且仅当其中奇数的个数为 0 或 2：全偶有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种；两奇一偶有 ${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_4^1=40$ 种，合计 44 种。从 9 个数中取 3 个共 ${\mathrm{C}}_9^3=84$ 种，故所求概率 $P=\frac{44}{84}=\frac{11}{21}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型奇偶分类
2. 核心方法：和为偶：三偶（${\mathrm{C}}_4^3=4$）或一偶两奇（${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_5^2=40$）；$P=\frac{44}{84}=\frac{11}{21}$
3. 避坑指南：偶数有 4 个（2,4,6,8）、奇数 5 个；和为偶 $⟺$ 奇数个数为 0 或 2——别漏”3 偶”这一支

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于古典概型的分类计数，教材”概率”中排列组合与概率结合
2. 结论推广: 一般化：$n$ 个数中取 $k$ 个和为偶数的概率，按奇偶个数分类；先分奇偶类，再分”全偶/1偶2奇”等情形求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷文-16 填-古典概型计数
• 2006-上海文-10 填-古典概型组合计数
• 2007-北京文-18 解-古典概型计数