2005-北京卷文-08 单-受限排列计数

本题导读

本题考查排列与组合及受限排列问题。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 五个工程队承建某项工程的 $5$ 个不同的子项目，每个工程队承建 $1$ 项，其中甲工程队不能承建 $1$ 号子项目，则不同的承建方案共有()

A. ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_4^4$ 种　　　B. ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{A}}_4^4$ 种　　　C. ${\mathrm{C}}_4^4$ 种　　　D. ${\mathrm{A}}_4^4$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 甲不能承建 $1$ 号：甲从其余 $4$ 个子项目中选 $1$ 个，${\mathrm{C}}_4^1$ 种。
2. 其余 $4$ 个工程队全排列承建剩下 $4$ 个子项目，${\mathrm{A}}_4^4$ 种。
3. 共 ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{A}}_4^4=4\times 24=96$ 种；验证：$5!-4!=120-24=96$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

若不考虑限制条件，把 $5$ 个工程队分配给 $5$ 个不同子项目，共有 $5!=120$ 种方案．甲工程队承建 $1$ 号子项目时，其他 $4$ 个工程队分配给其余 $4$ 个子项目，有 $4!=24$ 种方案． 因此符合条件的方案数为 $5!-4!=120-24=96$．又 ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{A}}_4^4=4\times 24=96$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：受限排列计数

核心方法：先安排受限元素，再全排列其余

避坑指南：甲从 $2\sim 5$ 号中选一项 ${\mathrm{C}}_4^1$，其余 $4$ 队全排列 ${\mathrm{A}}_4^4$，共 $96$ 种；别用 ${\mathrm{A}}_5^5$ 直接算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列组合受限分配（人教 A 版选修二）

结论推广：$n$ 个元素排 $n$ 个位置、某元素不在某位置：${\mathrm{C}}_{n-1}^1{\mathrm{A}}_{n-1}^{n-1}=(n-1)\cdot (n-1)!$

方法推广：先排受限元素再排其余（优先法），或总数减违规数（排除法），两法互相验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-04 单-数字和奇偶排列计数
• 2007-北京文-05 单-牌照计数