2005-全国卷III文-18 解-相互独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件、概率的乘法公式与对立事件的概率。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 $0.05$，甲、丙都需要照顾的概率为 $0.1$，乙、丙都需要照顾的概率为 $0.125$，

(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；

(2)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲、乙、丙需要照顾的概率分别为 $p,q,r$，由独立得 $pq=0.05,pr=0.1,qr=0.125$。
2. $p^2=\frac{(pq)(pr)}{qr}=\frac{0.05\times 0.1}{0.125}=0.04$，故 $p=0.2$，进而 $q=0.25,r=0.5$。
3. 至少一台需要照顾的概率 $=1-(1-p)(1-q)(1-r)$。

✅【答案】

Success

(1) 甲、乙、丙需要照顾的概率分别为 $0.2$、$0.25$、$0.5$；(2) $0.7$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设甲、乙、丙三台机器需要照顾的概率分别为 $p,q,r$．由相互独立及题设，$pq=0.05$，$pr=0.1$，$qr=0.125$． 因此 $p^2=\frac{(pq)(pr)}{qr}=\frac{0.05\times 0.1}{0.125}=0.04$，得 $p=0.2$． 于是 $q=\frac{0.05}{0.2}=0.25$，$r=\frac{0.1}{0.2}=0.5$． （2）三台机器都不需要照顾的概率为 $(1-p)(1-q)(1-r)=0.8\times 0.75\times 0.5=0.3$． 故至少有一台需要照顾的概率为 $1-0.3=0.7$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件概率

核心方法：设概率 $p,q,r$，$pq=0.05,pr=0.1,qr=0.125$，得 $p=\sqrt{\frac{pq\cdot pr}{qr}}=0.2,q=0.25,r=0.5$；至少一台 $=1-0.8\times 0.75\times 0.5=0.7$

避坑指南：由两两概率乘积反解单个概率 $p=\sqrt{\frac{(pq)(pr)}{qr}}$；“至少一台”用对立事件 $1-(1-p)(1-q)(1-r)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相互独立事件概率是概率基础

结论推广：两两同时概率乘积反解单个概率

方法推广：“至少一台”用对立事件求解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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