2005-重庆卷文-18 解-独立工序合格率与二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率与二项分布的应用。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为 $\frac{9}{10}$、$\frac{8}{9}$、$\frac{7}{8}$，且各道工序互不影响．

(1)求该种零件的合格率；

(2)从该种零件中任取 3 件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三道工序串联：$p=\frac{9}{10}\times \frac{8}{9}\times \frac{7}{8}=0.7$。
2. 恰一件：${\mathrm{C}}_3^1\cdot 0.7\cdot 0.3^2=0.189$。
3. 至少一件：$1-0.3^3=0.973$。

✅【答案】

Success

0.7.（2）短答案：恰好取到一件合格品的概率为0.189，至少取到一件合格品的概率为0.973.

✍【详细解析】

Abstract

（1）三道工序互不影响，零件合格须三道工序全部合格，故合格率 $p=\frac{9}{10}\times \frac{8}{9}\times \frac{7}{8}=\frac{7}{10}=0.7$． （2）任取 3 件，合格品数 $\xi \sim B(3,0.7)$．恰好取到一件合格品的概率 $P(\xi =1)={\mathrm{C}}_3^1\times 0.7\times 0.3^2=3\times 0.7\times 0.09=0.189$；至少取到一件合格品的概率 $P(\xi ⩾1)=1-P(\xi =0)=1-0.3^3=1-0.027=0.973$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立工序合格率与二项分布

核心方法：合格率 $p=\frac{9}{10}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{7}{8}=0.7$；恰一件 ${\mathrm{C}}_3^1\cdot 0.7\cdot 0.3^2=0.189$；至少一件 $1-0.3^3=0.973$

避坑指南：三道工序串联用乘法；二项分布 $B(3,0.7)$——“至少”用对立事件 $1-0.3^3$ 别硬加三项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 独立事件与二项分布

结论推广：$p=0.7$；恰一件 $0.189$、至少一件 $0.973$

方法推广：工序串联乘概率；$n$ 件中恰 $k$ 件合格用 ${\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；“至少”用 $1-(1-p{)}^n$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-18 解-相互独立事件概率
• 2005-北京卷文-18 解-独立重复试验概率
• 2006-湖北文-12 填-二项分布至少概率