2005-全国卷III文-15 填-曲线在某点切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义与曲线的切线方程。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 曲线 $y=2x-x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导 $y^{\prime }=2-3x^2$。
2. 在 $x=1$ 处斜率 $k=2-3=-1$。
3. 点斜式 $y-1=-(x-1)$，整理得 $x+y-2=0$。

✅【答案】

Success

$x+y-2=0$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=2x-x^3$ 的导数为 $y^{\prime }=2-3x^2$，故在 $x=1$ 处的切线斜率为 $2-3\times 1^2=-1$． 过点 $(1,1)$ 的切线方程为 $y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：曲线在某点切线方程

核心方法：$y^{\prime }=2-3x^2$，在 $x=1$ 处斜率 $-1$；切线 $y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$

避坑指南：先求导得斜率 $-1$，再用点斜式；切线方程 $x+y-2=0$，别漏常数项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：曲线在某点切线方程是导数基础

结论推广：斜率 $=f^{\prime }(x_0)$，再用点斜式

方法推广：求导代入求斜率，写一般式方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调与切线