2005-全国卷III文-05 单-指数函数比较大小

本题导读

本题考查指数函数的单调性与指数式的大小比较。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 设 $3^x=\frac{1}{7}$，则()

A. $-2<x<-1$　　　　B. $-3<x<-2$　　　　C. $-1<x<0$　　　　D. $0<x<1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $3^{-2}=\frac{1}{9}$，$3^{-1}=\frac{1}{3}$。
2. 因 $\frac{1}{9}<\frac{1}{7}<\frac{1}{3}$，即 $3^{-2}<3^x<3^{-1}$。
3. 由 $y=3^x$ 单调递增，得 $-2<x<-1$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $3^{-2}=\frac{1}{9}<\frac{1}{7}<3^{-1}=\frac{1}{3}$，且函数 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增， 所以 $3^{-2}<3^x<3^{-1}$ 即 $-2<x<-1$． 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数比较大小

核心方法：$3^{-2}=\frac{1}{9}<\frac{1}{7}<3^{-1}=\frac{1}{3}$，由 $3^x$ 单调递增得 $-2<x<-1$

避坑指南：把 $\frac{1}{7}$ 夹在两个 $3$ 的幂之间再比较指数；$-2<x<-1$，别取反方向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数比较大小是基础选择

结论推广：把目标数夹在两个同底幂之间

方法推广：利用单调性把区间问题化为指数比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-04 单-指对数单调性比较
• 2008-安徽文-13 填-根式对数定义域